Para cada base \mathcal{B} de V_{3}(\mathbb{R}) munido do produto interno usual, encontre uma base de vetores ortogonais usando o método de Gram-Schmidt.
\mathcal{B}=\{(1,1,0),(-1,1,0),(-1,1,1)\}

Passo 1

O enunciado dá a base
\mathcal{B}=\{v_{1}=(1,1,0),\,v_{2}=(-1,1,0),\,v_{3}=(-1,1,1)\}
de V_{3}(\mathbb{R}) com o produto interno usual (o escalar padrão). Queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal \{u_{1},u_{2},u_{3}\}.

Passo 2

Definimos
u_{1} = v_{1} = (1,1,0).
Aqui \langle u_{1},u_{1}\rangle = 1^{2}+1^{2}+0^{2}=2.

Passo 3

Calculamos
u_{2} = v_{2} - \proj_{u_{1}}(v_{2}), \quad \proj_{u_{1}}(v_{2}) = \frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}\,u_{1}.
Note que
\langle v_{2},u_{1}\rangle = (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot0 = 0,
logo \proj_{u_{1}}(v_{2})=0 e
u_{2} = v_{2} = (-1,1,0).

Passo 4

Por fim, fazemos
u_{3} = v_{3} - \proj_{u_{1}}(v_{3}) - \proj_{u_{2}}(v_{3}),
onde
\langle v_{3},u_{1}\rangle = (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 0,
então \proj_{u_{1}}(v_{3})=0.
E
\langle v_{3},u_{2}\rangle = (-1)(-1)+1\cdot1+1\cdot0 = 2, \quad \langle u_{2},u_{2}\rangle = (-1)^{2}+1^{2}+0^{2}=2,
então
\proj_{u_{2}}(v_{3}) = \tfrac{2}{2}\,u_{2} = u_{2} = (-1,1,0).
Logo
u_{3} = v_{3} - u_{2} = (-1,1,1) - (-1,1,0) = (0,0,1).

Resposta

\{(1,1,0),\,(-1,1,0),\,(0,0,1)\}

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