Seja o espaço vetorial
. Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em
.
<u, v>=\left(u_{1} v_{1}\right)^{2}+\left(u_{2} v_{2}\right)^{2}
<u, v>=\left(u_{1} v_{1}\right)^{2}+\left(u_{2} v_{2}\right)^{2}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define um produto interno em
. Para isso, lembramos que um produto interno deve satisfazer:
- simetria,
- linearidade em cada argumento (bilinearidade),
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria: trocando
por
obtemos
Logo, a simetria está ok.
Passo 3
Verificamos a positividade definida: para
,
e a soma só é zero quando
, ou seja,
e
. Assim, é estritamente positiva para
.
Passo 4
Verificamos a linearidade em, digamos,
. Para um escalar
e vetores
,
Mas para ser produto interno precisaríamos de
. Como aqui aparece
em vez de
, a homogeneidade (e portanto a bilinearidade) falha.
Resposta
A função
não define um produto interno em
, pois não é linear nos argumentos.