Seja o espaço vetorial V_{2}(\mathbb{R}). Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em \mathbb{R}^{2}.
<u, v>=\left(u_{1} v_{1}\right)^{2}+\left(u_{2} v_{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle u,v\rangle = (u_1 v_1)^2 + (u_2 v_2)^2
define um produto interno em \mathbb{R}^2. Para isso, lembramos que um produto interno deve satisfazer:
  1. simetria,
  2. linearidade em cada argumento (bilinearidade),
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria: trocando u por v obtemos
\langle v,u\rangle = (v_1 u_1)^2 + (v_2 u_2)^2 = (u_1 v_1)^2 + (u_2 v_2)^2 = \langle u,v\rangle.
Logo, a simetria está ok.

Passo 3

Verificamos a positividade definida: para u=(u_1,u_2),
\langle u,u\rangle = (u_1^2)^2 + (u_2^2)^2 = u_1^4 + u_2^4 \ge 0,
e a soma só é zero quando u_1^4+u_2^4=0, ou seja, u_1=0 e u_2=0. Assim, é estritamente positiva para u\neq(0,0).

Passo 4

Verificamos a linearidade em, digamos, u. Para um escalar \alpha e vetores u,v,
\langle \alpha u,v\rangle = \bigl((\alpha u_1)v_1\bigr)^2 + \bigl((\alpha u_2)v_2\bigr)^2 = \alpha^2\bigl((u_1v_1)^2+(u_2v_2)^2\bigr) = \alpha^2\langle u,v\rangle.
Mas para ser produto interno precisaríamos de
\langle \alpha u,v\rangle = \alpha\langle u,v\rangle. Como aqui aparece \alpha^2 em vez de \alpha, a homogeneidade (e portanto a bilinearidade) falha.

Resposta

A função \langle u,v\rangle=(u_1v_1)^2+(u_2v_2)^2 não define um produto interno em \mathbb{R}^2, pois não é linear nos argumentos.

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