Produto interno:
<u, u>\geq 0 e <u, u>=0 \Leftrightarrow u=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no produto interno usual em \mathbb{R}^n, vale
\langle u,u\rangle \ge 0 \quad\text{e}\quad \langle u,u\rangle = 0 \iff u = 0.
Vamos lembrar que, para u=(u_1,\dots,u_n), o produto interno padrão é
\langle u,u\rangle = \sum_{i=1}^{n}u_i^2.

Passo 2

Cada termo u_i^2 na soma
\langle u,u\rangle = \sum_{i=1}^{n}u_i^2
é um quadrado real, logo satisfaz u_i^2 \ge 0. Somando esses termos não-negativos, obtemos
\langle u,u\rangle = \sum_{i=1}^{n}u_i^2 \ge 0.

Passo 3

Para ver quando \langle u,u\rangle = 0, note que uma soma de números não-negativos só pode ser zero se cada parcela for zero. Assim,
\sum_{i=1}^{n}u_i^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_i^2 = 0 \;\forall i \quad\Longrightarrow\quad u_i = 0 \;\forall i \quad\Longrightarrow\quad u = 0.
E o caminho inverso é imediato: se u=0, então cada u_i=0 e \langle u,u\rangle=0.

Resposta

Mostramos que
\langle u,u\rangle = \sum_{i=1}^{n}u_i^2 \ge 0 \quad\text{e}\quad \langle u,u\rangle = 0 \iff u = 0.

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