Para cada base \mathcal{B} de V_{3}(\mathbb{R}) munido do produto interno usual, encontre uma base de vetores ortogonais usando o método de Gram-Schmidt.
\mathcal{B}=\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,1)\}

Passo 1

O enunciado dá a base
\mathcal{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} em \mathbb{R}^3 com o produto interno usual, onde
\boldsymbol{v}_1=(1,0,0),
\boldsymbol{v}_2=(0,1,0) e
\boldsymbol{v}_3=(-1,0,1).
Queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\}.

Passo 2

Definimos
\boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{v}_1.
Logo
\boldsymbol{u}_1 = (1,0,0).

Passo 3

Calculamos
\boldsymbol{u}_2 = \boldsymbol{v}_2 - \mathrm{proj}_{\boldsymbol{u}_1}(\boldsymbol{v}_2),
onde
\mathrm{proj}_{\boldsymbol{u}_1}(\boldsymbol{v}_2) = \frac{\langle \boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{u}_1\rangle}{\langle \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_1\rangle}\,\boldsymbol{u}_1 = \frac{0}{1}\,(1,0,0) = (0,0,0).
Portanto
\boldsymbol{u}_2 = (0,1,0).

Passo 4

Calculamos
\boldsymbol{u}_3 = \boldsymbol{v}_3 - \mathrm{proj}_{\boldsymbol{u}_1}(\boldsymbol{v}_3) - \mathrm{proj}_{\boldsymbol{u}_2}(\boldsymbol{v}_3).
Primeiro
\mathrm{proj}_{\boldsymbol{u}_1}(\boldsymbol{v}_3) = \frac{\langle \boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{u}_1\rangle}{\langle \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_1\rangle}\,\boldsymbol{u}_1 = \frac{-1}{1}\,(1,0,0) = (-1,0,0).
Então
\boldsymbol{v}_3 - \mathrm{proj}_{\boldsymbol{u}_1}(\boldsymbol{v}_3) = (0,0,1).
Como
\langle (0,0,1),(0,1,0)\rangle=0, a projeção em \boldsymbol{u}_2 é zero, e portanto
\boldsymbol{u}_3 = (0,0,1).

Resposta

A base ortogonal obtida é
\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.

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