Seja o espaço vetorial V_{2}(\mathbb{R}). Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em \mathbb{R}^{2}.
<u, v>=u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}

Passo 1

O enunciado pede para checar se a aplicação
\langle u,v\rangle = u_{1}v_{2} + u_{2}v_{1}
em \mathbb{R}^2 satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria: para quaisquer u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2),
\langle v,u\rangle = v_1u_2 + v_2u_1 = u_1v_2 + u_2v_1 = \langle u,v\rangle.
Logo, a forma é simétrica.

Passo 3

Verificamos a bilinearidade em u. Sejam u,w,v\in\mathbb{R}^2 e \alpha\in\mathbb{R}.
(1) Aditividade:
\langle u+w,\,v\rangle =(u_1+w_1)v_2 + (u_2+w_2)v_1 = u_1v_2 + u_2v_1 + w_1v_2 + w_2v_1 = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle.
(2) Homogeneidade:
\langle \alpha u,\,v\rangle =(\alpha u_1)v_2 + (\alpha u_2)v_1 =\alpha\,(u_1v_2+u_2v_1) =\alpha\,\langle u,v\rangle.
Pela simetria, também é linear no segundo argumento.

Passo 4

Verificamos a positividade definida calculando \langle u,u\rangle:
\langle u,u\rangle = u_1u_2 + u_2u_1 = 2\,u_1u_2.
Para ser produto interno, precisaríamos ter \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq0.
Entretanto, se u=(1,0)\neq0 então
\langle (1,0),(1,0)\rangle = 2\cdot1\cdot0 = 0,
e se tomarmos, por exemplo, u=(1,-1),
\langle u,u\rangle = 2\cdot1\cdot(-1) = -2 < 0.
Logo, falha a condição de positividade definida.

Resposta

A aplicação \langle u,v\rangle = u_{1}v_{2} + u_{2}v_{1} não define produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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