Seja o espaço vetorial
. Verifique quais das funções a seguir definem um produto interno em
.
<u, v>=u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}
<u, v>=u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}
Passo 1
O enunciado pede para checar se a aplicação
em
satisfaz as três propriedades de um produto interno:
- bilinearidade (linearidade em cada argumento),
- simetria,
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria: para quaisquer
e
,
Logo, a forma é simétrica.
Passo 3
Verificamos a bilinearidade em
. Sejam
e
.
(1) Aditividade:
(1) Aditividade:
(2) Homogeneidade:
Pela simetria, também é linear no segundo argumento.
Passo 4
Verificamos a positividade definida calculando
:
Para ser produto interno, precisaríamos ter
para todo
.
Entretanto, se então
Entretanto, se
e se tomarmos, por exemplo,
,
Logo, falha a condição de positividade definida.
Resposta
A aplicação
não define produto interno em
.