(a) (0.5) Encontre todos os autovalores de A.
(b) (1.5) Encontre todos os autovetores de A linearmente independente associados aos autovalores.
(c) (0.5) A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que A=P D P^{-1}, com D diagonal.
e pede: (a) seus autovalores, (b) autovetores linearmente independentes e (c) verificar se é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma decomposição A=PDP^{-1}.
Passo 2
Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
Para \lambda=0\) resolvemos \(A x=0\). Das equações
\[\begin{cases} -\,x_1+14x_2+3x_3=0,\\\\ -4x_2+2x_3=0,\\\\ -4x_2+2x_3=0 \end{cases}
vem x_3=2x_2\] e \(x_1=14x_2+3\cdot2x_2=20x_2. Tomando x_2=1, um autovetor é
v_0 = \begin{pmatrix}20\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
Passo 5
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)x=0. Da segunda linha -3x_2+2x_3=0 vem x_3=\tfrac32x_2; da terceira linha obtemos x_2=0 e então x_3=0. A primeira linha fica 0\cdot x_1=0, logo x_1 é livre. Tomando x_1=1, um autovetor é
v_{-1} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Passo 6
Para \lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0. Da segunda linha -2x_2+2x_3=0 vem x_3=x_2; a terceira dá a mesma condição. Da primeira linha x_1+14x_2+3x_3=0 resulta x_1=-17x_2. Tomando x_2=1, um autovetor é
Os três autovetores v_{-2},v_{-1},v_0 são claramente linearmente independentes, cada autovalor tem multiplicidade geométrica 1 igual à algébrica, logo A é diagonalizável. Podemos escolher
(a) \lambda=0,\;-1,\;-2.
(b) Autovetores: para \lambda=0, \mathrm{span}\{(20,1,2)\}; para \lambda=-1, \mathrm{span}\{(1,0,0)\}; para \lambda=-2, \mathrm{span}\{(-17,1,1)\}.
(c) Sim. Por exemplo