Para cada uma das bases abaixo, determine as matrizes e e calcule as coordenadas do vetor na base :

Passo 1

Neste exercício temos a base mathscrB=(1,2,0),(-1,0,0),(1,0,1) de R^3 e o vetor canônico v=(0,0,1). O que precisamos é: (a) montar a matriz de mudança de base de mathscrB para a base canônica, MmathscrB,can; (b) montar a matriz inversa, Mcan,mathscrB; e © expressar v em coordenadas na base mathscrB. O tema principal aqui é mudança de base em espaços vetoriais e inversão de matrizes.

Passo 2

Para obter a matriz MmathscrB,can, basta colocar em cada coluna as coordenadas dos vetores de mathscrB escritos na base canônica. Assim, temos:
MmathscrB,can=1 & -1 & 12 & 0 & 00 & 0 & 1

Passo 3

A matriz Mcan,mathscrB é a inversa de MmathscrB,can. Como ela é triangular por blocos, podemos inverter resolvendo os sistemas
A x=ei com A=MmathscrB,can para i=1,2,3. Fazendo isso, encontramos:
Mcan,mathscrB=0 & tfrac12 & 0-1 & tfrac12 & 10 & 0 & 1

Passo 4

Para achar as coordenadas de v=(0,0,1) na base mathscrB, basta calcular
[v]mathscrB=Mcan,mathscrB,v
Como v em coordenadas canônicas é (0,0,1), isso corresponde exatamente à terceira coluna de Mcan,mathscrB. Logo:
[v]mathscrB=(0,1,1)

Resposta

[br]$$
M_{\mathscr{B},\mathrm{can}}= MmathscrB,can=1 & -1 & 12 & 0 & 00 & 0 & 1
$$
$$
M_{\mathrm{can},\mathscr{B}}= Mcan,mathscrB=0 & 12 & 0-1 & 12 & 10 & 0 & 1
$$
$[v]_{\mathscr{B}}=(0,1,1)$

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