Para cada uma das bases abaixo, determine as matrizes e e calcule as coordenadas do vetor na base :

Passo 1

O enunciado pede para achar as matrizes de mudança de base entre a base dada mathscrB e a base canônica em R^4, e em seguida as coordenadas do vetor v=(1,1,2,1) em mathscrB. Vamos usar a definição de base (independência linear e geração) e as propriedades de mudança de base.

Passo 2

Antes de montar as matrizes, precisamos checar se mathscrB é realmente uma base de R^4. Se houver dependência linear, não teremos mudança de base bem definida. Observamos os vetores
b1=(1,0,1,0), b2=(0,1,0,-1), b3=(0,0,1,1), b4=(0,-1,0,1)
Note que
b2 + b4 = (0,1,0,-1)+(0,-1,0,1) = (0,0,0,0)
Isso mostra que b4 = -b2, ou seja, há dependência linear entre os vetores.

Passo 3

Como há dependência, o conjunto mathscrB não gera R^4 de forma independente, logo não é uma base de R^4. Sem base válida, não existem as matrizes MmathscrB,can e Mcan,mathscrB nem as coordenadas únicas de v em mathscrB.

Resposta

O conjunto mathscrB não é uma base de R^4 (pois b4=-b2), portanto as matrizes de mudança de base e as coordenadas de v em mathscrB não existem de modo bem definido.

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