Para cada uma das bases abaixo, determine as matrizes e e calcule as coordenadas do vetor na base :

Passo 1

O enunciado pede para a base mathscrB=b1=(1,1,1),,b2=(0,0,1),,b3=(0,1,1) determinar as matrizes de mudança de base MmathscrB,can (de coordenadas em mathscrB para coordenadas canônicas) e Mcan,mathscrB (o inverso), e ainda achar as coordenadas de v=(0,-1,1) em mathscrB. O conteúdo é mudança de base em R^3, uso de matriz inversa e solução de sistema linear.

Passo 2

Para montar MmathscrB,can, basta colocar os vetores de mathscrB como colunas:
MmathscrB,can=1&0&01&0&11&1&1

Passo 3

Para obter Mcan,mathscrB, calculamos a inversa de MmathscrB,can. Usando adjunta e determinante (ou qualquer método de inversão), achamos
Mcan,mathscrB=(MmathscrB,can)^-1=1&0&00&-1&1-1&1&0

Passo 4

As coordenadas de v em mathscrB satisfazem
MmathscrB,canalphabetagamma=v
Resolvendo
1&0&01&0&11&1&1alphabetagamma=0-11
é mais simples usar a inversa:
alphabetagamma=Mcan,mathscrB,v=1&0&00&-1&1-1&1&00-11=02-1

Resposta

MmathscrB,can=1&0&01&0&11&1&1, Mcan,mathscrB=1&0&00&-1&1-1&1&0, [v]mathscrB=(0,2,-1)^T.

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