Verifique se a reta r está contida no plano indicado nos seguintes casos:
pi: X=(1,4,1)+lambda(1,-1,1)+mu(-1,2,-1) e r passa pelos pontos A=(2,3,2) e B=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a reta r, que passa por A=(2,3,2) e B=(0,0,1), está inteiramente contida no plano π dado em forma paramétrica X=(1,4,1)+λ(1,−1,1)+μ(−1,2,−1). O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos precisar checar duas coisas – se um ponto da reta pertence ao plano e se o vetor diretor da reta está contido no plano (ou seja, paralelo ao plano).

Passo 2

O vetor diretor da reta r é dado por B–A. Calculamos:
vec vr = B - A = (0,0,1) - (2,3,2) = (-2,-3,-1)
Para verificar contenção no plano, vamos obter o vetor normal vec n do plano como o produto vetorial dos dois vetores diretoras dele, vec v1=(1,-1,1) e vec v2=(-1,2,-1).
$$\vec n = \vec v_1 \times \vec v_2
= vec n = vec v1 times vec v2 = i & j & k 1 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 = (-1),i - 0,j + 1,k = (-1,0,1)
= (-1),\mathbf{i} - 0,\mathbf{j} + 1,\mathbf{k} = (-1,0,1)$$

Passo 3

Agora testamos se A pertence ao plano, calculando o produto escalar entre n e A - P0), onde P0=(1,4,1) é um ponto do plano:
$$
A - P_0 = (2,3,2) - (1,4,1) = (1,-1,1)$$
A - P0 = (2,3,2) - (1,4,1) = (1,-1,1)
Como o resultado é zero, A está no plano.

Passo 4

Para a reta ficar contida, seu vetor diretor também precisa ser paralelo ao plano, ou seja, vec vr cdot vec n = 0. Calculamos:
vec vr cdot vec n = (-2,-3,-1) cdot (-1,0,1) = 2 + 0 -1 = 1
Como o produto não é zero, o vetor diretor da reta não é paralelo ao plano, logo a reta r não está contida em π.

Resposta

A reta r não está contida no plano π.

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