Verifique se a reta está contida no plano indicado nos seguintes casos: e passa pelos pontos e .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a reta r, que passa por A=(2,3,2) e B=(0,0,1), está inteiramente contida no plano π dado em forma paramétrica X=(1,4,1)+λ(1,−1,1)+μ(−1,2,−1). O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos precisar checar duas coisas – se um ponto da reta pertence ao plano e se o vetor diretor da reta está contido no plano (ou seja, paralelo ao plano).
Passo 2
O vetor diretor da reta r é dado por B–A. Calculamos:
Para verificar contenção no plano, vamos obter o vetor normal do plano como o produto vetorial dos dois vetores diretoras dele, e .
$$\vec n = \vec v_1 \times \vec v_2
Agora testamos se A pertence ao plano, calculando o produto escalar entre n e A - P0), onde P0=(1,4,1) é um ponto do plano:
$$
A - P_0 = (2,3,2) - (1,4,1) = (1,-1,1)$$
A - P0 = (2,3,2) - (1,4,1) = (1,-1,1)
Como o resultado é zero, A está no plano.
Passo 4
Para a reta ficar contida, seu vetor diretor também precisa ser paralelo ao plano, ou seja, vec vr cdot vec n = 0. Calculamos:
vec vr cdot vec n = (-2,-3,-1) cdot (-1,0,1) = 2 + 0 -1 = 1
Como o produto não é zero, o vetor diretor da reta não é paralelo ao plano, logo a reta r não está contida em π.