Mostre que qualquer matriz inversível
é a matriz de mudança de base
para alguma base
de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dado qualquer A invertível em
×$n$, existe uma base
de
tal que A é exatamente a matriz de mudança de base de
para a base canônica. O conteúdo aqui é mudança de base e vamos precisar da definição de matriz de mudança de base.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de matriz de mudança de base. Se , então a matriz de mudança de base de
para a base canônica é dada por colocar as coordenadas de cada
em relação à base canônica como coluna. Em outras palavras:
[ M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = [ [v_1]\mathrm{can} , [v_2]\mathrm{can} , \cdots , [v_n]\mathrm{can} ] ],
onde $[v_i]\mathrm{can}$ é o próprio vetor escrito no sistema canônico.
[ M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = [ [v_1]\mathrm{can} , [v_2]\mathrm{can} , \cdots , [v_n]\mathrm{can} ] ],
onde $[v_i]\mathrm{can}$ é o próprio vetor
Passo 3
Agora, seja
uma matriz invertível
×$n$. Por definição de invertibilidade, as colunas de
são um conjunto de vetores
linearmente independentes em
. Assim, podemos definir a base \(
\mathscr{B} = \{v_1, v_2, ···, v_n\}).
\mathscr{B} = \{v_1, v_2, ···, v_n\}).
Passo 4
Pela definição de matriz de mudança de base, ao escolher
cujos vetores são exatamente as colunas de
, a matriz que coleta essas colunas em ordem é justamente
. Logo,
[ M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = A ].
Isso mostra que A é a matriz de mudança de base de alguma base para a base canônica de
.
[ M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = A ].
Isso mostra que A é a matriz de mudança de base de alguma base
Resposta
Basta tomar como base
o conjunto de colunas de A; então por definição M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = A.