Mostre que qualquer matriz inversível n times n é a matriz de mudança de base MmathscrB, can para alguma base mathscrB de R^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dado qualquer A invertível em n×$n$, existe uma base de tal que A é exatamente a matriz de mudança de base de para a base canônica. O conteúdo aqui é mudança de base e vamos precisar da definição de matriz de mudança de base.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de matriz de mudança de base. Se , então a matriz de mudança de base de [vi]can para a base canônica é dada por colocar as coordenadas de cada em relação à base canônica como coluna. Em outras palavras:
[ M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = [ [v_1]\mathrm{can} , [v_2]\mathrm{can} , \cdots , [v_n]\mathrm{can} ] ],
onde $[v_i]
\mathrm{can}$ é o próprio vetor escrito no sistema canônico.

Passo 3

Agora, seja n uma matriz invertível ×$n$. Por definição de invertibilidade, as colunas de são um conjunto de vetores linearmente independentes em . Assim, podemos definir a base \(
\mathscr{B} = \{v_1, v_2, ···, v_n\}).

Passo 4

Pela definição de matriz de mudança de base, ao escolher cujos vetores são exatamente as colunas de , a matriz que coleta essas colunas em ordem é justamente . Logo,
[ M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = A ].
Isso mostra que A é a matriz de mudança de base de alguma base para a base canônica de .

Resposta

Basta tomar como base o conjunto de colunas de A; então por definição M_{\mathscr{B},\mathrm{can}} = A.

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