Para cada campo vec{F} encontre uma curva fechada simples alpha, tal que \int_{\alpha} \vec{F} d \vec{r} \neq 0. Podemos concluir que os campos não são conservativos?
\vec{F}=\left(y^{2}+x y, 3 y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para achar uma curva fechada simples \alpha no plano de modo que \displaystyle \int_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r\neq0
para o campo \vec F=(y^2+xy,\,3y^2). Em seguida, usar isso para concluir se \vec F é conservativo.

Passo 2

Escolhemos como \alpha o contorno do quadrado de vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)
percorrido no sentido anti‐horário.

Passo 3

Dividimos \alpha em quatro lados e calculamos \displaystyle \int_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r =\sum_{i=1}^{4}I_i.
Lado 1: (0,0)\to(1,0), y=0; \Rightarrow \vec F=(0,0); \Rightarrow I_1=0.
Lado 2: (1,0)\to(1,1), x=1, d\vec r=(0,dy), \vec F=(y^2+y,\,3y^2); \Rightarrow\ \displaystyle I_2=\int_{0}^{1}3y^2\,dy=1.
Lado 3: (1,1)\to(0,1), y=1, d\vec r=(dx,0), x de 1 a 0, \vec F=(1+x,\,3); \Rightarrow\ \displaystyle I_3=\int_{1}^{0}(1+x)\,dx=-\frac{3}{2}.
Lado 4: (0,1)\to(0,0), x=0, d\vec r=(0,dy), y de 1 a 0, \vec F=(y^2,\,3y^2); \Rightarrow\ \displaystyle I_4=\int_{1}^{0}3y^2\,dy=-1.

Passo 4

Somando, \displaystyle \int_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r =0+1-\tfrac{3}{2}-1=-\tfrac{3}{2}\neq0.
Como o domínio de \vec F é simplesmente conexo, um campo conservativo precisaria ter integral zero em qualquer ciclo fechado. Logo, \vec F não é conservativo.

Resposta

\displaystyle \int_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r=-\tfrac{3}{2}\neq0.
Portanto, \vec F não é conservativo.

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