Calcule as integrais
sendo
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
ao longo da curva
,
.
O conteúdo é integrais de linha de campos vetoriais e o uso de campos conservativos (exatos) para aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.
O conteúdo é integrais de linha de campos vetoriais e o uso de campos conservativos (exatos) para aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Definimos
Verificamos se o campo
é conservativo, checando
Como
num domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
,
Derivando essa expressão em
,
deve ser igual a
. Assim
e podemos tomar
. Logo
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
Temos
e
. Portanto
e a integral vale