Calcule as integrais
\int_{\gamma} 7 x^{6} y d x+x^{7} d y sendo \gamma(t)=\left(t, e^{t^{2}-1}\right), onde t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\gamma}7x^{6}y\,dx + x^{7}\,dy
ao longo da curva \gamma(t)=(t,e^{t^{2}-1}), t\in[0,1].
O conteúdo é integrais de linha de campos vetoriais e o uso de campos conservativos (exatos) para aplicar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Definimos
P(x,y)=7x^{6}y, \quad Q(x,y)=x^{7}.
Verificamos se o campo (P,Q) é conservativo, checando
\frac{\partial P}{\partial y} =7x^{6}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} =7x^{6}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x num domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
Integrando P em relação a x,
f(x,y)=\int 7x^{6}y\,dx = x^{7}y + C(y).
Derivando essa expressão em y,
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{7} + C'(y)
deve ser igual a Q(x,y)=x^{7}. Assim C'(y)=0 e podemos tomar C(y)=0. Logo
f(x,y)=x^{7}y.

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy = f\bigl(\gamma(1)\bigr)-f\bigl(\gamma(0)\bigr).
Temos \gamma(0)=(0,e^{-1}) e \gamma(1)=(1,e^{0})=(1,1). Portanto
f(1,1)=1^{7}\cdot1=1, \quad f(0,e^{-1})=0^{7}\cdot e^{-1}=0,
e a integral vale
1 - 0 = 1.

Resposta

1

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