Para cada campo
encontre uma curva fechada simples
, tal que
. Podemos concluir que os campos não são conservativos?
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma curva fechada simples
no plano de modo que
para o campo . Em seguida, usar isso para concluir se
é conservativo.
para o campo
Passo 2
Escolhemos como
o contorno do quadrado de vértices
percorrido no sentido anti‐horário.
percorrido no sentido anti‐horário.
Passo 3
Dividimos
em quatro lados e calculamos
.
Lado 1: ,
;
;
.
Lado 2: ,
,
,
;
\
.
Lado 3: ,
,
,
de 1 a 0,
;
\
.
Lado 4: ,
,
,
de 1 a 0,
;
\
.
Lado 1:
Lado 2:
Lado 3:
Lado 4:
Passo 4
Somando,
.
Como o domínio de é simplesmente conexo, um campo conservativo precisaria ter integral zero em qualquer ciclo fechado. Logo,
não é conservativo.
Como o domínio de
Resposta
Portanto,