Para cada campo vec{F} encontre uma curva fechada simples alpha, tal que \int_{\alpha} \vec{F} d \vec{r} \neq 0. Podemos concluir que os campos não são conservativos?
\vec{F}=\left(e^{x y}, e^{-x y}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec F(x,y)=\bigl(e^{x y},\,e^{-x y}\bigr)
e pede que a gente ache uma curva fechada simples \alpha tal que
\int_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r\neq 0
e, a partir disso, conclua se \vec F é conservativo. O conteúdo aqui é cálculo de linha em campos vetoriais e o teste de conservatividade via integral em circuito fechado.

Passo 2

Vamos escolher \alpha como o quadrado de vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)
percorrido no sentido anti-horário. Dessa forma dividimos \alpha em quatro segmentos \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4.

Passo 3

Segmento \alpha_1\colon (0,0)\to(1,0). Aqui y=0, dy=0, x vai de 0 a 1,
d\vec r=(dx,0), \quad \vec F(x,0)=\bigl(e^{x\cdot0},\,e^{-x\cdot0}\bigr)=(1,1).
Logo
\int_{\alpha_1}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{1}(1,1)\cdot(dx,0) =\int_{0}^{1}1\,dx =1.

Passo 4

Segmento \alpha_2\colon (1,0)\to(1,1). Aqui x=1, dx=0, y vai de 0 a 1,
d\vec r=(0,dy), \quad \vec F(1,y)=\bigl(e^{1\cdot y},\,e^{-1\cdot y}\bigr)=(e^y,e^{-y}).
Logo
\int_{\alpha_2}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{1}(e^y,e^{-y})\cdot(0,dy) =\int_{0}^{1}e^{-y}\,dy =\bigl[-e^{-y}\bigr]_{0}^{1} =1-e^{-1}.

Passo 5

Segmento \alpha_3\colon (1,1)\to(0,1). Aqui y=1, dy=0, x vai de 1 a 0,
d\vec r=(dx,0), \quad \vec F(x,1)=\bigl(e^{x\cdot1},\,e^{-x\cdot1}\bigr)=(e^x,e^{-x}).
Logo
\int_{\alpha_3}\vec F\cdot d\vec r =\int_{1}^{0}(e^x,e^{-x})\cdot(dx,0) =\int_{1}^{0}e^x\,dx =\bigl[e^x\bigr]_{1}^{0} =1-e.

Passo 6

Segmento \alpha_4\colon (0,1)\to(0,0). Aqui x=0, dx=0, y vai de 1 a 0,
d\vec r=(0,dy), \quad \vec F(0,y)=\bigl(e^{0\cdot y},\,e^{-0\cdot y}\bigr)=(1,1).
Logo
\int_{\alpha_4}\vec F\cdot d\vec r =\int_{1}^{0}(1,1)\cdot(0,dy) =\int_{1}^{0}1\,dy =-1.

Passo 7

Somando todas as contribuições,
\oint_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r =1+(1-e^{-1})+(1-e)+(-1) =2 - e - e^{-1}\neq 0.

Passo 8

Como encontramos uma curva fechada simples \alpha em que \displaystyle\oint_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r\neq0, concluímos que \vec F não é conservativo em \mathbb R^2, pois um campo conservativo teria integral nula em todo circuito fechado.

Resposta

Escolhendo \alpha como o quadrado de vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0), tem-se
\oint_{\alpha}\vec F\cdot d\vec r =2 - e - e^{-1}\neq0
Logo \vec F não é conservativo.

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