Para cada campo vetorial overrightarrowF abaixo, verifique se existe overrightarrowG tal que nabla times G=F e, em caso positivo, encontre G.
F(x, y, z)=y z i+x y z j+x y k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se existe um campo vetorial G tal que a rotacional dele nabla times G seja igual ao campo F(x, y, z) = yz,i + xyz,j + xy,k . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional e possíveis potenciais vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial F é o rotacional de outro campo G , então F deve ser um campo conservativo. Uma condição necessária é que o divergente de F seja zero, ou seja, nabla cdot F = 0 .

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F :
nabla cdot F = partialpartial x(yz) + partialpartial y(xyz) + partialpartial z(xy)
Calculando cada derivada:
partialpartial x(yz) = 0, partialpartial y(xyz) = xz, partialpartial z(xy) = 0
Então:
nabla cdot F = 0 + xz + 0 = xz
Como o divergente não é zero ( xz neq 0 em geral), isso indica que F não é um campo conservativo, e portanto, não existe um campo G tal que nabla times G = F .

Resposta

Não existe um campo vetorial G tal que nabla times G = F .

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