Questão 01 (13 pontos): Nos itens que seguem, encontre a solução geral da equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
(4 pontos)
.
(4 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
Esse é um ODE de primeira ordem que podemos reconhecer como uma equação exata (ou ver diretamente como derivada de um mesmo potencial).
Esse é um ODE de primeira ordem que podemos reconhecer como uma equação exata (ou ver diretamente como derivada de um mesmo potencial).
Passo 2
Escrevendo em forma diferencial, temos
com
Vamos buscar uma função potencial
tal que
Passo 3
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Agora impomos
Logo
e podemos tomar
. Assim
Passo 4
A condição de exatidão implica
isto é
Usando
, obtemos
Portanto a solução implícita com a condição é
Passo 5
Se quisermos explicitar
, notamos que
e, pelas propriedades da função de Lambert–W,
Resposta
A solução geral implícita é
Com
fica
Explicitamente,