Questão 01 (13 pontos): Nos itens que seguem, encontre a solução geral da equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
(4 pontos) 2 x y e^y+x^2 e^y(y+1) y^prime=0, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2,x,y,e^y ;+; x^2,e^y,(y+1),y' ;=; 0,
com condição inicial y(1)=1.
Esse é um ODE de primeira ordem que podemos reconhecer como uma equação exata (ou ver diretamente como derivada de um mesmo potencial).

Passo 2

Escrevendo em forma diferencial, temos
M(x,y);+;N(x,y),y' ;=; 0,
com
M(x,y)=2,x,y,e^y, N(x,y)=x^2,e^y,(y+1)
Vamos buscar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M, partial phipartial y=N

Passo 3

Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y) =integral 2,x,y,e^y,dx = x^2,y,e^y + h(y)
Agora impomos
partial phipartial y = x^2,e^y(y+1) + h'(y) =N(x,y) = x^2,e^y(y+1)
Logo h'(y)=0 e podemos tomar h(y)=const. Assim
phi(x,y)=x^2,y,e^y

Passo 4

A condição de exatidão implica
phi(x,y)=C,
isto é
x^2,y,e^y=C
Usando y(1)=1, obtemos
1^2cdot1cdot e^1=e ;Longrightarrow; C=e
Portanto a solução implícita com a condição é
x^2,y,e^y=e

Passo 5

Se quisermos explicitar y, notamos que
y,e^y = ex^2
e, pelas propriedades da função de Lambert–W,
y = W!l(e/x^2r)

Resposta

A solução geral implícita é
x^2,y,e^y=C
Com y(1)=1 fica
x^2,y,e^y=e
Explicitamente,
y = W!l(e/x^2r)

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