a) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
onde
e
são diferenciáveis, é irrotacional.
b) O campo vetorial
é irrotacional?
b) O campo vetorial
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver o exercício sobre campos vetoriais irrotacionais. A questão tem duas partes:
a) Mostrar que qualquer campo vetorial da forma
, onde
,
e
são funções diferenciáveis, é irrotacional.
b) Verificar se o campo vetorial
é irrotacional.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser irrotacional, ou seja, possuir o rotacional (ou curl) igual a zero.
Passo 2
Vamos começar explicando o que é um campo vetorial irrotacional. Um campo vetorial
é irrotacional se o seu rotacional é igual a zero, ou seja:
O rotacional de
é dado por:
Para o campo ser irrotacional, cada uma dessas componentes deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos resolver a parte a) do exercício.
Temos o campo vetorial:
Aqui,
,
e
.
Vamos calcular o rotacional
:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Então, a componente
do rotacional é:
Agora, para a componente
:
Então:
Por fim, para a componente
:
Então:
Portanto, o rotacional de
é:
Isso mostra que
é irrotacional.
Passo 4
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício.
O campo vetorial dado é:
Aqui,
,
e
.
Vamos calcular o rotacional
:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Para a componente
:
Então:
Para a componente
:
Então:
Para a componente
:
Então:
Portanto, o rotacional de
é:
Como o rotacional não é o vetor nulo (tem componentes diferentes de zero), o campo vetorial
não é irrotacional.
Resposta
a) Qualquer campo vetorial da forma
é irrotacional.
b) O campo vetorial
não é irrotacional.