a) Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z)=f(x) i+g(y) j+h(z) k,
onde f, g e h são diferenciáveis, é irrotacional.
b) O campo vetorial F(x, y, z)=(y^2-z) i+(x^2-z) j+(x^2-y) k é irrotacional?

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver o exercício sobre campos vetoriais irrotacionais. A questão tem duas partes:
a) Mostrar que qualquer campo vetorial da forma F(x, y, z)=f(x) i+g(y) j+h(z) k, onde f, g e h são funções diferenciáveis, é irrotacional.
b) Verificar se o campo vetorial F(x, y, z)=(y^2-z) i+(x^2-z) j+(x^2-y) k é irrotacional.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser irrotacional, ou seja, possuir o rotacional (ou curl) igual a zero.

Passo 2

Vamos começar explicando o que é um campo vetorial irrotacional. Um campo vetorial F é irrotacional se o seu rotacional é igual a zero, ou seja:
nabla times F = 0
O rotacional de F = P i + Q j + R k é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Para o campo ser irrotacional, cada uma dessas componentes deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos resolver a parte a) do exercício.
Temos o campo vetorial:
F(x, y, z) = f(x) i + g(y) j + h(z) k
Aqui, P = f(x), Q = g(y) e R = h(z).
Vamos calcular o rotacional nabla times F:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Rpartial y = partial h(z)partial y = 0 (pois h(z) depende apenas de z)
partial Qpartial z = partial g(y)partial z = 0 (pois g(y) depende apenas de y)
Então, a componente i do rotacional é:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - 0 = 0
Agora, para a componente j:
partial Ppartial z = partial f(x)partial z = 0 (pois f(x) depende apenas de x)
partial Rpartial x = partial h(z)partial x = 0 (pois h(z) depende apenas de z)
Então:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - 0 = 0
Por fim, para a componente k:
partial Qpartial x = partial g(y)partial x = 0 (pois g(y) depende apenas de y)
partial Ppartial y = partial f(x)partial y = 0 (pois f(x) depende apenas de x)
Então:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0
Portanto, o rotacional de F é:
nabla times F = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Isso mostra que F é irrotacional.

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício.
O campo vetorial dado é:
F(x, y, z) = (y^2 - z) i + (x^2 - z) j + (x^2 - y) k
Aqui, P = y^2 - z, Q = x^2 - z e R = x^2 - y.
Vamos calcular o rotacional nabla times F:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Para a componente i:
partial Rpartial y = partial (x^2 - y)partial y = -1
partial Qpartial z = partial (x^2 - z)partial z = -1
Então:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = -1 - (-1) = 0
Para a componente j:
partial Ppartial z = partial (y^2 - z)partial z = -1
partial Rpartial x = partial (x^2 - y)partial x = 2x
Então:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = -1 - 2x
Para a componente k:
partial Qpartial x = partial (x^2 - z)partial x = 2x
partial Ppartial y = partial (y^2 - z)partial y = 2y
Então:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2y
Portanto, o rotacional de F é:
nabla times F = 0 i + (-1 - 2x) j + (2x - 2y) k
Como o rotacional não é o vetor nulo (tem componentes diferentes de zero), o campo vetorial F não é irrotacional.

Resposta

a) Qualquer campo vetorial da forma F(x, y, z)=f(x) i+g(y) j+h(z) k é irrotacional.
b) O campo vetorial F(x, y, z)=(y^2-z) i+(x^2-z) j+(x^2-y) k não é irrotacional.

Exercícios relacionados