Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
y^prime prime(t)+ln (|t+1|) y^prime(t)-raiz4-t^2 y(t)=0, y(0)=1, y^prime(0)=3. Lembre do Teorema de Existência e Unicidade: Considere o problema de valor inicial fracd^2 yd t^2+p(t) d yd t+q(t) y=f(t), y(t0)=y0, d yd t(t0)=z0. onde p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto t0, então existe uma única solução para o problema de valor inicial, y=phi(t) definida para todo t in I].

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''(t)+lnlvert t+1rvert,y'(t)-raiz4-t^2,y(t)=0, y(0)=1, y'(0)=3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares de segunda ordem, identificamos
p(t)=lnlvert t+1rvert, q(t)=-raiz4-t^2
e precisamos que p e q sejam contínuas num intervalo aberto I que contenha t0=0.

Passo 2

Analisando p(t)=lnlvert t+1rvert: o logaritmo exige t+1neq0. Logo, p é contínua em Rsetminus-1, isto é, nos intervalos
(-infty,-1)e(-1,infty)

Passo 3

Analisando q(t)=-raiz4-t^2: a raiz quadrada exige 4-t^2>=0, então q existe e é contínua em
[-2,2]

Passo 4

O domínio comum de p e q é a interseção
l((-infty,-1)cup(-1,infty)r)cap[-2,2] =(-2,-1)cup(-1,2)
Desse conjunto, o único intervalo aberto que contém o ponto t0=0 é
(-1,2)

Resposta

(-1,2)

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