Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em
, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e o domínio:
-
. -
.
O que é pedido:
- Determinar se
é conservativo (isto é, se existe uma função escalar tal que ). - Se for conservativo, determinar uma função potencial
.
Passo 2
O que significa ser conservativo e como testar isso (passo-a-passo bem didático).
- Por definição,
é conservativo se existe uma função escalar tal que
Aqui
é o gradiente de
, ou seja
- Uma forma prática de testar conservatividade em domínios apropriados (como
, que é aberto e simplesmente conexo) é verificar se o rotacional (curl) de é o vetor nulo. O rotacional é definido por
onde
são as componentes de
.
- Se
em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então é conservativo e existe .
Passo 3
Calcular o rotacional de
. Aqui
,
,
. Calculemos cada componente:
Portanto
Passo 4
Conclusão sobre conservatividade usando o domínio:
- O domínio dado é
, que é aberto e simplesmente conexo (não contém “buracos”). - Como
em todo e o domínio é simplesmente conexo, segue que é conservativo; existe uma função potencial tal que .
Passo 5
Método para encontrar a função potencial
: integrar componentes e ajustar “constantes” de integração dependentes das outras variáveis.
- Começamos da primeira igualdade
. Integramos em relação a :
onde
é uma função arbitrária que aparece porque a integração foi em
(é análoga a “constante” de integração que pode depender de
e
).
- Agora usamos a condição para a derivada em
. Calculamos a partir da expressão obtida:
Mas essa derivada deve ser igual a
. Portanto
Isto significa que
não depende de
:
.
- Finalmente, usamos a condição para a derivada em
. A partir de temos
Essa deve ser igual a
. Assim
Logo
é constante:
, com
constante real.
Passo 6
Resultado final para a função potencial e observações finais:
- Uma função potencial é, escolhendo
para simplicidade,
- Mais geralmente, qualquer
com é um potencial, pois o gradiente não muda ao somar constante. - Recapitulando de forma curta e amigável: o rotacional deu zero em todo lugar, o domínio não tem buracos, então tem potencial; encontramos
. Vai dar certo na prova — respira, olha os passos e reproduz essa integração por partes.
Resposta
Conservativo: sim.