Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em D \subset \mathbb{R}^{3}, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial \varphi tal que \nabla \varphi=\vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=(y z, x z, x y), \quad D=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e o domínio:
  • \vec{F}(x,y,z)=(y z,\; x z,\; x y).
  • D=\mathbb{R}^{3}.
O que é pedido:
  1. Determinar se \vec{F} é conservativo (isto é, se existe uma função escalar \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}).
  2. Se for conservativo, determinar uma função potencial \varphi.

Passo 2

O que significa ser conservativo e como testar isso (passo-a-passo bem didático).
  • Por definição, \vec{F} é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\nabla\varphi = \vec{F}.
Aqui \nabla\varphi é o gradiente de \varphi, ou seja
\nabla\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y},\;\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
  • Uma forma prática de testar conservatividade em domínios apropriados (como \mathbb{R}^3, que é aberto e simplesmente conexo) é verificar se o rotacional (curl) de \vec{F} é o vetor nulo. O rotacional é definido por
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right),
onde F_1,F_2,F_3 são as componentes de \vec{F}.
  • Se \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo, então \vec{F} é conservativo e existe \varphi.

Passo 3

Calcular o rotacional de \vec{F}. Aqui F_1=y z, F_2=x z, F_3=x y. Calculemos cada componente:
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}(x y)-\frac{\partial}{\partial z}(x z) = x - x = 0.
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}(y z)-\frac{\partial}{\partial x}(x y) = y - y = 0.
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x z)-\frac{\partial}{\partial y}(y z) = z - z = 0.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\quad\text{em todo }\mathbb{R}^3.

Passo 4

Conclusão sobre conservatividade usando o domínio:
  • O domínio dado é D=\mathbb{R}^3, que é aberto e simplesmente conexo (não contém “buracos”).
  • Como \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo \mathbb{R}^3 e o domínio é simplesmente conexo, segue que \vec{F} é conservativo; existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 5

Método para encontrar a função potencial \varphi: integrar componentes e ajustar “constantes” de integração dependentes das outras variáveis.
  • Começamos da primeira igualdade \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=F_1=yz. Integramos em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int yz\,dx = xyz + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária que aparece porque a integração foi em x (é análoga a “constante” de integração que pode depender de y e z).
  • Agora usamos a condição para a derivada em y. Calculamos \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xyz + g(y,z)\bigr) = xz + \frac{\partial g}{\partial y}.
Mas essa derivada deve ser igual a F_2=xz. Portanto
xz + \frac{\partial g}{\partial y} = xz \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Isto significa que g não depende de y: g=g(z).
  • Finalmente, usamos a condição para a derivada em z. A partir de \varphi(x,y,z)=xyz + g(z) temos
\frac{\partial\varphi}{\partial z} = xy + g'(z).
Essa deve ser igual a F_3=xy. Assim
xy + g'(z) = xy \quad\Rightarrow\quad g'(z)=0.
Logo g é constante: g(z)=C, com C constante real.

Passo 6

Resultado final para a função potencial e observações finais:
  • Uma função potencial é, escolhendo C=0 para simplicidade,
\varphi(x,y,z)=xyz.
  • Mais geralmente, qualquer \varphi(x,y,z)=xyz + C com C\in\mathbb{R} é um potencial, pois o gradiente não muda ao somar constante.
  • Recapitulando de forma curta e amigável: o rotacional deu zero em todo lugar, o domínio não tem buracos, então tem potencial; encontramos \varphi=xyz+C. Vai dar certo na prova — respira, olha os passos e reproduz essa integração por partes.

Resposta

Conservativo: sim.
\varphi(x,y,z)=xyz + C

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