Calcule \int_{C} \vec{F} \mathrm{~d} \vec{r}, onde C é dada por uma função vetorial \vec{r}(t). \vec{F}(x, y, z)=\left(x y, x^{2}+z, y^{2}-x\right) e \vec{r}(t) descreve a curva C, obtida como interseção do cone x^{2}+y^{2}=z^{2}, z \geq 0, com o cilindro x=y^{2} de (0,0,0)) a (1,1, \sqrt{2})).
Passo 1
O enunciado nos dá:
O campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(xy,\;x^{2}+z,\;y^{2}-x\right).
A curva C é a interseção do cone x^{2}+y^{2}=z^{2} com z\ge 0 e do cilindro x=y^{2}.
O ponto inicial da curva é (0,0,0) e o ponto final é (1,1,\sqrt{2}). Assim a orientação solicitada vai do ponto (0,0,0) até (1,1,\sqrt{2}).
A pergunta é calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r} ao longo de C com essa orientação.
Passo 2
Lembrete teórico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
Se \vec{r}(t) é uma parametrização de C para t\in[a,b], então a integral de linha de um campo vetorial é
Explicando: \vec{r}\,'(t) é o vetor velocidade (derivada da parametrização) e a expressão \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) é um produto escalar que dá a contribuição do campo na direção do movimento; integrar soma essas contribuições ao longo da curva.
Passo 3
Escolha de parametrização (por que e como escolher):
A curva é interseção de x=y^{2} (cilindro) com o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (escolhemos a raiz positiva porque z\ge 0).
Uma escolha natural é usar y como parâmetro. Então x=y^{2}.