Calcule \int_{C} \vec{F} \mathrm{~d} \vec{r}, onde C é dada por uma função vetorial \vec{r}(t).
\vec{F}(x, y, z)=\left(x y, x^{2}+z, y^{2}-x\right) e \vec{r}(t) descreve a curva C, obtida como interseção do cone x^{2}+y^{2}=z^{2}, z \geq 0, com o cilindro x=y^{2} de (0,0,0)) a (1,1, \sqrt{2})).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(xy,\;x^{2}+z,\;y^{2}-x\right).
  • A curva C é a interseção do cone x^{2}+y^{2}=z^{2} com z\ge 0 e do cilindro x=y^{2}.
  • O ponto inicial da curva é (0,0,0) e o ponto final é (1,1,\sqrt{2}). Assim a orientação solicitada vai do ponto (0,0,0) até (1,1,\sqrt{2}).
  • A pergunta é calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r} ao longo de C com essa orientação.

Passo 2

Lembrete teórico e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Se \vec{r}(t) é uma parametrização de C para t\in[a,b], então a integral de linha de um campo vetorial é
\int_{C}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,\mathrm{d}t.
Explicando: \vec{r}\,'(t) é o vetor velocidade (derivada da parametrização) e a expressão \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) é um produto escalar que dá a contribuição do campo na direção do movimento; integrar soma essas contribuições ao longo da curva.

Passo 3

Escolha de parametrização (por que e como escolher):
  • A curva é interseção de x=y^{2} (cilindro) com o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (escolhemos a raiz positiva porque z\ge 0).
  • Uma escolha natural é usar y como parâmetro. Então x=y^{2}.
  • Substituindo no cone:
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{y^{4}+y^{2}}=\sqrt{y^{2}(y^{2}+1)}=|y|\sqrt{y^{2}+1}.
  • Como os pontos dados têm y variando de 0 até 1 (de (0,0,0) até (1,1,\sqrt{2})), tomamos y\ge0 e assim z=y\sqrt{y^{2}+1}.
  • Portanto uma parametrização conveniente é
\vec{r}(y)=\bigl(y^{2},\;y,\;y\sqrt{y^{2}+1}\bigr),\qquad 0\le y\le 1.
Isto respeita a orientação do enunciado (de y=0 a y=1).

Passo 4

Calcular \vec{r}\,'(y) (derivadas componente a componente):
  • Derivando cada componente em relação a y:
\vec{r}\,'(y)=\left(2y,\;1,\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigl(y\sqrt{y^{2}+1}\bigr)\right).
  • Calcular a derivada da terceira componente: seja S=\sqrt{y^{2}+1}. Então
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigl(yS\bigr)=S + y\cdot\frac{y}{S}=S+\frac{y^{2}}{S}=\frac{S^{2}+y^{2}}{S}=\frac{y^{2}+1+y^{2}}{S}=\frac{2y^{2}+1}{\sqrt{y^{2}+1}}.
  • Assim
\vec{r}\,'(y)=\left(2y,\;1,\;\frac{2y^{2}+1}{\sqrt{y^{2}+1}}\right).

Passo 5

Substituir \vec{r}(y) em \vec{F} para obter \vec{F}(\vec{r}(y)):
  • Lembrando \vec{F}=(xy,\;x^{2}+z,\;y^{2}-x) e usando x=y^{2}, z=y\sqrt{y^{2}+1}:
\vec{F}(\vec{r}(y))=\bigl(y^{2}\cdot y,\; (y^{2})^{2}+y\sqrt{y^{2}+1},\; y^{2}-y^{2}\bigr).
  • Simplificando:
\vec{F}(\vec{r}(y))=\bigl(y^{3},\; y^{4}+y\sqrt{y^{2}+1},\;0\bigr).

Passo 6

Formar o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(y))\cdot \vec{r}\,'(y):
  • Produto escalar componente a componente:
\vec{F}(\vec{r}(y))\cdot \vec{r}\,'(y)=y^{3}\cdot(2y)+\bigl(y^{4}+y\sqrt{y^{2}+1}\bigr)\cdot 1 + 0\cdot\frac{2y^{2}+1}{\sqrt{y^{2}+1}}.
  • Simplificando:
\vec{F}(\vec{r}(y))\cdot \vec{r}\,'(y)=2y^{4}+y^{4}+y\sqrt{y^{2}+1}=3y^{4}+y\sqrt{y^{2}+1}.

Passo 7

Escrever a integral e separar em duas integrais fáceis:
\int_{C}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}=\int_{0}^{1}\bigl(3y^{4}+y\sqrt{y^{2}+1}\bigr)\,\mathrm{d}y =\int_{0}^{1}3y^{4}\,\mathrm{d}y+\int_{0}^{1}y\sqrt{y^{2}+1}\,\mathrm{d}y.

Passo 8

Calcular a primeira integral (polinomial):
\int_{0}^{1}3y^{4}\,\mathrm{d}y=3\cdot\frac{y^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}=\frac{3}{5}.

Passo 9

Calcular a segunda integral por substituição:
  • Faça u=y^{2}+1. Então \mathrm{d}u=2y\,\mathrm{d}y e quando y=0 temos u=1, quando y=1 temos u=2.
  • Assim
\int_{0}^{1}y\sqrt{y^{2}+1}\,\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{1/2}\,\mathrm{d}u.
  • Integrando:
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{1/2}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
  • Observação útil: 2^{3/2}=2\sqrt{2}.

Passo 10

Somar as duas contribuições e simplificar:
\int_{C}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}=\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) =\frac{3}{5}-\frac{1}{3}+\frac{2^{3/2}}{3}.
Colocando em denominador comum 15 ou escrevendo 2^{3/2}=2\sqrt{2}, obtemos a forma compacta:
\int_{C}\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}=\frac{4}{15}+\frac{2\sqrt{2}}{3} =\frac{4+10\sqrt{2}}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{4+10\sqrt{2}}{15}

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