Calcule
, onde
é dada por uma função vetorial
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde estão dadas as informações a seguir:
- O campo vetorial é
. - A curva
está parametrizada por , com .
As perguntas são: calcular explicitamente
usando a parametrização dada e entregar o valor numérico final.
Passo 2
Regra prática (fórmula que vamos usar):
O que isso significa, passo a passo:
- Substituir
e do campo pelas componentes da parametrização para obter . - Calcular
, que é a velocidade (derivada componente a componente). - Fazer o produto escalar (dot product) entre
e ; isso dá uma função escalar de . - Integrar essa função escalar no intervalo
(aqui , ).
Breve lembrando do produto escalar: para vetores
e
,
Passo 3
Calcular
derivando componente a componente:
Derivando:
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, ou seja substituir
e
em
:
Simplificando potências:
Passo 5
Fazer o produto escalar
:
Calcule cada termo:
Portanto o integrando é
Passo 6
Integrar no intervalo
:
Usando a regra da potência
:
Somando: