Calcule \int_{C} \vec{F} \mathrm{~d} \vec{r}, onde C é dada por uma função vetorial \vec{r}(t).
\vec{F}(x, y)=x y \vec{i}+3 y^{2} \vec{j} e \vec{r}(t)=11 t^{2} \vec{i}+t^{3} \vec{j}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} \vec{F}\,\mathrm{d}\vec{r} onde estão dadas as informações a seguir:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y)=x y\,\vec{i}+3 y^{2}\,\vec{j}.
  • A curva C está parametrizada por \vec{r}(t)=11 t^{2}\,\vec{i}+t^{3}\,\vec{j}, com 0\le t\le1.
As perguntas são: calcular explicitamente \int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r} usando a parametrização dada e entregar o valor numérico final.

Passo 2

Regra prática (fórmula que vamos usar):
\int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)\,\mathrm{d}t.
O que isso significa, passo a passo:
  • Substituir x e y do campo \vec{F}(x,y) pelas componentes da parametrização \vec{r}(t) para obter \vec{F}(\vec{r}(t)).
  • Calcular \vec{r}\,'(t), que é a velocidade (derivada componente a componente).
  • Fazer o produto escalar (dot product) entre \vec{F}(\vec{r}(t)) e \vec{r}\,'(t); isso dá uma função escalar de t.
  • Integrar essa função escalar no intervalo t\in[a,b] (aqui a=0, b=1).
Breve lembrando do produto escalar: para vetores \vec{A}=(A_x,A_y) e \vec{B}=(B_x,B_y),
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente:
\vec{r}(t)=11 t^{2}\,\vec{i}+t^{3}\,\vec{j}\quad\Rightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(11 t^{2}\big)\,\vec{i}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(t^{3}\big)\,\vec{j}.
Derivando:
\vec{r}\,'(t)=22 t\,\vec{i}+3 t^{2}\,\vec{j}.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva, ou seja substituir x=11 t^{2} e y=t^{3} em \vec{F}(x,y)=x y\,\vec{i}+3 y^{2}\,\vec{j}:
\vec{F}(\vec{r}(t))=(11 t^{2}\cdot t^{3})\,\vec{i}+3(t^{3})^{2}\,\vec{j}.
Simplificando potências:
\vec{F}(\vec{r}(t))=11 t^{5}\,\vec{i}+3 t^{6}\,\vec{j}.

Passo 5

Fazer o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=(11 t^{5})(22 t)+(3 t^{6})(3 t^{2}).
Calcule cada termo:
(11 t^{5})(22 t)=242 t^{6},\qquad (3 t^{6})(3 t^{2})=9 t^{8}.
Portanto o integrando é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=242 t^{6}+9 t^{8}.

Passo 6

Integrar no intervalo 0\le t\le1:
\int_{C}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{0}^{1}\big(242 t^{6}+9 t^{8}\big)\,\mathrm{d}t.
Usando a regra da potência \int t^{n}\,\mathrm{d}t=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{1}242 t^{6}\,\mathrm{d}t=242\cdot\frac{1}{7}=\frac{242}{7},
\int_{0}^{1}9 t^{8}\,\mathrm{d}t=9\cdot\frac{1}{9}=1.
Somando:
\int_{0}^{1}\big(242 t^{6}+9 t^{8}\big)\,\mathrm{d}t=\frac{242}{7}+1=\frac{242+7}{7}=\frac{249}{7}.

Resposta

\dfrac{249}{7}

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