Q2:Em cada op ção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-24 x-6 z=-21, \\\\ 32 x+8 z=28 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 9 x+y+4 z & =5, \\\\ 2 x+7 y & =3, \\\\ 6 x+21 y & =9 . \end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{aligned} 4 x+5 y+z & =9, \\\\ 8 x+2 z & =7, \\\ x & =3 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} 12 x+15 y+3 z & =27, \\\\ 10 x+35 y & =15 . \end{aligned}\right.
O enunciado pede, entre várias opções, aquela em que cada um dos dois sistemas lineares dados tem conjunto-solução de dimensão 1, ou seja, retas em \mathbb{R}^3. O conteúdo que precisamos usar é o conceito de posto (rank) e teoria da dimensão de soluções de sistemas lineares.
Passo 2
Em \mathbb{R}^3, para um sistema linear ter solução de dimensão 1 (uma reta) é necessário e suficiente que o posto da matriz de coeficientes seja 2 (exatamente um grau de liberdade) e que o sistema seja consistente (sem contradições).
Passo 3
Na opção (A) o primeiro sistema é \begin{cases}-24x - 6z = -21,\\\ 32x + 8z = 28.\end{cases}
essas duas equações são múltiplas (posto =1), logo sua solução tem dimensão 3 - 1 = 2, impossível ser reta. Então A falha.
Passo 4
Na opção (B) o primeiro sistema \begin{cases}4x+5y+z=9,\\\ 8x+2z=7,\x=3\end{cases}
impõe três equações independentes em x,y,z, de modo que há solução única (dimensão 0). Logo B falha.
Passo 5
Na opção (C) o primeiro sistema \begin{cases}4x+5y+z=9,\\\ -20x-25y-5z=-45,\\\ 8x+2z=7\end{cases}
é equivalente a duas equações independentes 4x+5y+z=9\) e \(8x+2z=7\), posto \(=2\) e solução de dimensão 1. O segundo sistema \(\begin{cases}-16x-20y-4z=-36,\\\ -10x-35y=-15\end{cases}
também reduz a duas equações independentes 4x+5y+z=9 e 2x+7y=3, posto =2 e solução de dimensão 1. Logo em (C) ambos são retas.
Passo 6
Nas opções (D), (E) e (F) pelo menos um dos sistemas tem posto diferente de 2 (ou gera contradição ou posto =1 ou posto =3), então em nenhuma delas as duas soluções são simultaneamente retas.