Q2:Em cada op ção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-24 x-6 z=-21, \\\\ 32 x+8 z=28 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 9 x+y+4 z & =5, \\\\ 2 x+7 y & =3, \\\\ 6 x+21 y & =9 . \end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{aligned} 4 x+5 y+z & =9, \\\\ 8 x+2 z & =7, \\\ x & =3 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} 12 x+15 y+3 z & =27, \\\\ 10 x+35 y & =15 . \end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}4 x+5 y+z=9, \\\\ -20 x-25 y-5 z=-45, \\\\ 8 x+2 z=7 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-16 x-20 y-4 z & =-36, \\\\ -10 x-35 y & =-15 .\end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{aligned}-20 x-25 y-5 z & =-45 \text {, } \\\\ -8 x-28 y & =-12 \text {. }\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned} 27 x+3 y+12 z & =15, \\\\ 45 x+5 y+20 z & =25 .\end{aligned}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}-45 x-40 y-10 z=-5, \\\\ -4 y-20 z=-32 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 12 x+15 y+3 z & =27, \\\\ 20 x+25 y+5 z & =45 .\end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}9 x+8 y+2 z=1, \\\ y+5 z=8, \\\\ -4 y-20 z=-32 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned}-20 x-25 y-5 z & =-45, \\\\ -32 x-8 z & =-28, \\\ x & =3 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede, entre várias opções, aquela em que cada um dos dois sistemas lineares dados tem conjunto-solução de dimensão 1, ou seja, retas em \mathbb{R}^3. O conteúdo que precisamos usar é o conceito de posto (rank) e teoria da dimensão de soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Em \mathbb{R}^3, para um sistema linear ter solução de dimensão 1 (uma reta) é necessário e suficiente que o posto da matriz de coeficientes seja 2 (exatamente um grau de liberdade) e que o sistema seja consistente (sem contradições).

Passo 3

Na opção (A) o primeiro sistema é \begin{cases}-24x - 6z = -21,\\\ 32x + 8z = 28.\end{cases}
essas duas equações são múltiplas (posto =1), logo sua solução tem dimensão 3 - 1 = 2, impossível ser reta. Então A falha.

Passo 4

Na opção (B) o primeiro sistema \begin{cases}4x+5y+z=9,\\\ 8x+2z=7,\x=3\end{cases}
impõe três equações independentes em x,y,z, de modo que há solução única (dimensão 0). Logo B falha.

Passo 5

Na opção (C) o primeiro sistema \begin{cases}4x+5y+z=9,\\\ -20x-25y-5z=-45,\\\ 8x+2z=7\end{cases}
é equivalente a duas equações independentes 4x+5y+z=9\) e \(8x+2z=7\), posto \(=2\) e solução de dimensão 1. O segundo sistema \(\begin{cases}-16x-20y-4z=-36,\\\ -10x-35y=-15\end{cases}
também reduz a duas equações independentes 4x+5y+z=9 e 2x+7y=3, posto =2 e solução de dimensão 1. Logo em (C) ambos são retas.

Passo 6

Nas opções (D), (E) e (F) pelo menos um dos sistemas tem posto diferente de 2 (ou gera contradição ou posto =1 ou posto =3), então em nenhuma delas as duas soluções são simultaneamente retas.

Resposta

(C)

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