Q3:Sabendo que o ponto (-1,-10,-8, k) pertence ao plano
(1,-3,-1,-2)+\operatorname{span}\{(2,-1,-1,-1),(2,3,3,-3)\}, assinale o valor de k :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado afirma que o ponto P=(-1,-10,-8,k) pertence ao plano dado por
(1,-3,-1,-2)+\operatorname{span}\{(2,-1,-1,-1),(2,3,3,-3)\}.
O conteúdo aqui é combinação linear e solução de sistema em \mathbb{R}^4. Precisamos encontrar os parâmetros s e t que geram P e então determinar k.

Passo 2

Qualquer ponto do plano pode ser escrito como
(1,-3,-1,-2) + s\,(2,-1,-1,-1) + t\,(2,3,3,-3).
Igualando ao ponto dado, obtemos o sistema
1 + 2s + 2t = -1,
-3 - s + 3t = -10,
-1 - s + 3t = -8,
-2 - s - 3t = k.

Passo 3

As três primeiras equações formam o sistema
\begin{cases} 1 + 2s + 2t = -1,\\\\ -3 - s + 3t = -10,\\\\ -1 - s + 3t = -8. \end{cases}
Da primeira obtemos 2s+2t=-2, ou seja
s + t = -1.
A segunda e a terceira ambas dão
-s + 3t = -7.
Substituindo s=-1-t na segunda,
-(-1-t)+3t=-7\implies1+4t=-7\implies t=-2,\quad s=1.

Passo 4

Na quarta equação,
k = -2 - s - 3t = -2 - 1 - 3(-2) = 3.

Resposta

3 corresponde à alternativa (C).

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