Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & 2 & -1 \\\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 5 & 0 \\\\ 2 & 10 & 2 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -13
(B) -12
(C) -11
(D) -10
(E) -9
(F) -8
(G) -7
(H) -6

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de quatro equações em três incógnitas x_1,x_2,x_3 cuja matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 2 & -1\\\\ -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 5 & 0\\\\ 2 & 10 & 2 & k \end{array}\right].
Pede-se o valor de k para que o sistema seja compatível. Para isso, vamos usar que o sistema tem solução exatamente quando o posto da matriz de coeficientes coincide com o posto da matriz aumentada, e como há mais equações que incógnitas, basta resolver o subsistema das três primeiras equações e impor que a quarta seja satisfeita pela mesma solução.

Passo 2

Extraindo a submatriz de coeficientes das três primeiras equações,
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix},
calculamos seu determinante:
\det = 1\bigl(1\cdot5 - 0\cdot1\bigr) - 2\bigl((-1)\cdot5 - 0\cdot2\bigr) + 2\bigl((-1)\cdot1 - 1\cdot2\bigr) = 5 - 2\cdot(-5) + 2\cdot(-3) = 5 + 10 - 6 = 9.
Como \det \neq 0, o posto da matriz de coeficientes é 3 e o subsistema tem solução única.

Passo 3

Escrevendo o subsistema das três primeiras equações,
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 2x_3 = -1,\\\\ -x_1 + x_2 = 0,\\\\ 2x_1 + x_2 + 5x_3 = 0, \end{cases}
da segunda equação vem x_2 = x_1. Substituindo nas demais,
3x_1 + 2x_3 = -1, \quad 3x_1 + 5x_3 = 0.
Subtraindo:
3x_3 = 1 \implies x_3 = \tfrac{1}{3},
e então
3x_1 + 2\cdot\tfrac{1}{3} = -1 \implies 3x_1 = -\tfrac{5}{3} \implies x_1 = -\tfrac{5}{9}, \quad x_2 = -\tfrac{5}{9}.

Passo 4

A quarta equação é
2x_1 + 10x_2 + 2x_3 = k.
Substituindo \bigl(x_1,x_2,x_3\bigr)=\bigl(-\tfrac{5}{9},-\tfrac{5}{9},\tfrac{1}{3}\bigr):
2\bigl(-\tfrac{5}{9}\bigr) +10\bigl(-\tfrac{5}{9}\bigr) +2\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) = -\tfrac{60}{9} + \tfrac{6}{9} = -\tfrac{54}{9} = -6.
Para que a equação seja satisfeita, k deve ser -6.

Resposta

-6

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