O enunciado pede o conjunto de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4} que satisfaz
-5x_{1}+x_{2}=-2.
Isso é uma hipersuperfície afim de dimensão 3. Vamos achar primeiro o subespaço homogêneo -5x_{1}+x_{2}=0 e depois uma solução particular.
Passo 2
Para o homogêneo resolvemos -5x_{1}+x_{2}=0. Daí x_{2}=5x_{1} e x_{3},x_{4} são livres. Logo qualquer solução homogênea tem forma (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(t,5t,s,r) com t,s,r\in\mathbb{R}. Assim o subespaço homogêneo é
Agora comparamos com as opções. Na alternativa (B) o vetor particular é (\\ -1,-7,1,-2), que satisfaz -5(-1)+(-7)=5-7=-2, e os vetores do span são (1,5,0,0), (0,0,6,0) e (0,0,0,2). Cada um deles satisfaz -5x_{1}+x_{2}=0 (o segundo e o terceiro são múltiplos dos nossos (0,0,1,0) e (0,0,0,1)), de modo que esse span coincide com o subespaço homogêneo. As demais opções ou não satisfazem a parte homogênea ou o ponto particular não satisfaz a equação.