Q1: Uma equação paramétrica do plano
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 5 x+7 y+3 z=-2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1,-\frac{10}{3}\right)+t(6,0,-10)+s(0,-9,21)
(B) (1,-1,0)+t(4,0,-8)+s(0,-7,15)
(C) \left(-1,1,-\frac{4}{3}\right)+t(4,0,-8)+s(0,-7,15)
(D) \left(-1,1,-\frac{4}{3}\right)+t(3,0,-7)+s(0,-4,12)
(E) \left(-1,1,-\frac{10}{3}\right)+t(3,0,-7)+s(0,-4,12)
(F) (1,-1,0)+t(6,0,-10)+s(0,-9,21)

Passo 1

O enunciado pede uma forma paramétrica do plano definido por
5x+7y+3z=-2,
ou seja, precisamos de um ponto (x_0,y_0,z_0) que satisfaça a equação e de dois vetores diretores \vec v e \vec w que sejam ortogonais ao vetor normal \vec n=(5,7,3).

Passo 2

Primeiro testamos quais candidatos têm o ponto na equação do plano, substituindo (x,y,z) em 5x+7y+3z:
  • Em (A) e (E) o ponto é \bigl(-1,1,-\tfrac{10}{3}\bigr):
5(-1)+7(1)+3\bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr)=-5+7-10=-8\neq -2.
  • Em (B) e (F) o ponto é (1,-1,0):
5(1)+7(-1)+3(0)=5-7=-2.
  • Em (C) e (D) o ponto é \bigl(-1,1,-\tfrac{4}{3}\bigr):
5(-1)+7(1)+3\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)=-5+7-4=-2.
Logo apenas os itens (B), (C), (D) e (F) têm ponto no plano.

Passo 3

Agora verificamos em cada um desses itens se os vetores diretores são ortogonais a \vec n=(5,7,3):
  • (B) vetores \vec v=(4,0,-8), \vec w=(0,-7,15):
\vec n\cdot\vec v=5\cdot4+7\cdot0+3\cdot(-8)=20-24=-4\neq0,
logo falha.
  • (C) mesmos vetores de (B), falha igual.
  • (D) vetores \vec v=(3,0,-7), \vec w=(0,-4,12):
\vec n\cdot\vec v=5\cdot3+7\cdot0+3\cdot(-7)=15-21=-6\neq0,
falha.
  • (F) vetores \vec v=(6,0,-10), \vec w=(0,-9,21):
\vec n\cdot\vec v=5\cdot6+7\cdot0+3\cdot(-10)=30-30=0,
\vec n\cdot\vec w=5\cdot0+7\cdot(-9)+3\cdot21=-63+63=0.
Aqui ambos são ortogonais a \vec n.

Resposta

(F) (1,-1,0)+t\,(6,0,-10)+s\,(0,-9,21)

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