Em cada caso abaixo, admita que y é definido implicitamente como função de x e calcule y^prime=d yd x.
tan y=y x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, y' = dydx , dado que tan y = yx . O conteúdo principal aqui é derivação implícita, que usamos quando y está definido de forma que não é fácil isolar y em termos de x . Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação tan y = yx em relação a x . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo com respeito a x .

Passo 3

Começando com o lado esquerdo: a derivada de tan y com relação a x . Lembrando que a derivada de tan u em relação a u é sec^2 u . Mas como y é uma função de x , precisamos aplicar a regra da cadeia:
ddx (tan y) = sec^2 y cdot dydx = sec^2 y cdot y'

Passo 4

Agora, vamos para o lado direito: a derivada de yx com relação a x . Aqui, temos um produto de duas funções ( y e x ), então usamos a regra do produto:
ddx (yx) = y cdot ddx(x) + x cdot ddx(y) = y cdot 1 + x cdot y' = y + x y'

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
sec^2 y cdot y' = y + x y'

Passo 6

Queremos isolar y' . Para isso, vamos trazer todos os termos com y' para um lado da equação:
sec^2 y cdot y' - x y' = y

Passo 7

Fatoramos y' do lado esquerdo:
y' (sec^2 y - x) = y

Passo 8

Finalmente, resolvemos para y' :
y' = ysec^2 y - x
Sabemos que sec^2 y = 1 + tan^2 y , mas como tan y = yx , podemos substituir se necessário. Porém, a expressão y' = ysec^2 y - x já nos dá a derivada desejada.

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
y' = ysec^2 y - x

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