Em cada caso abaixo, admita que
é definido implicitamente como função de
e calcule
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, dado que
. O conteúdo principal aqui é derivação implícita, que usamos quando
está definido de forma que não é fácil isolar
em termos de
. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo com respeito a
.
Passo 3
Começando com o lado esquerdo: a derivada de
com relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
. Mas como
é uma função de
, precisamos aplicar a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos para o lado direito: a derivada de
com relação a
. Aqui, temos um produto de duas funções (
e
), então usamos a regra do produto:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 6
Queremos isolar
. Para isso, vamos trazer todos os termos com
para um lado da equação:
Passo 7
Fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Sabemos que
, mas como
, podemos substituir se necessário. Porém, a expressão
já nos dá a derivada desejada.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: