Em cada caso abaixo, admita que
é definido implicitamente como função de
e calcule
.
, onde
são números reais fixados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação
, onde
e
são números reais positivos. A gente precisa encontrar
, que é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é quando
está definido de forma indireta em termos de
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação. Temos
. Podemos usar a regra da cadeia aqui:
- Derivada externa: A derivada de
em relação a é . - Derivada interna: A derivada de
em relação a é porque é função de .
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da equação, que é simplesmente
. A derivada de uma constante é zero:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar
, então vamos resolver essa equação.
Passo 6
Primeiro, podemos dividir ambos os lados por
, assumindo que
e
não são zero:
Então:
Resposta
A derivada
é igual a
.