Em cada caso abaixo, admita que y é definido implicitamente como função de x e calcule y^prime=d yd x.
a cos ^2(x+y)=b, onde a, b>0 são números reais fixados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação a cos^2(x + y) = b , onde a e b são números reais positivos. A gente precisa encontrar y' , que é a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é quando y está definido de forma indireta em termos de x na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
a cos^2(x + y) = b
Nosso objetivo é encontrar dydx . Para isso, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a x .

Passo 3

Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação. Temos a cos^2(x + y) . Podemos usar a regra da cadeia aqui:
  1. Derivada externa: A derivada de cos^2(u) em relação a u é 2cos(u)(- sin(u)) = -2cos(u)sin(u) .
  2. Derivada interna: A derivada de (x + y) em relação a x é 1 + dydx porque y é função de x .
Então, aplicando a regra da cadeia:
ddx[a cos^2(x + y)] = a cdot 2cos(x + y)(- sin(x + y)) cdot (1 + dydx)
= -2a cos(x + y)sin(x + y)(1 + y')

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação, que é simplesmente b . A derivada de uma constante é zero:
ddx[b] = 0

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
-2a cos(x + y)sin(x + y)(1 + y') = 0
Queremos isolar y' , então vamos resolver essa equação.

Passo 6

Primeiro, podemos dividir ambos os lados por -2a cos(x + y)sin(x + y) , assumindo que cos(x + y) e sin(x + y) não são zero:
1 + y' = 0
Então:
y' = -1

Resposta

A derivada dydx é igual a -1 .

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