Em cada caso abaixo, admita que
é definido implicitamente como função de
e calcule
.
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação onde
está definido de forma implícita em função de
. A nossa missão aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde
não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Nosso objetivo é derivar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo
usando a regra do produto, que diz que se temos duas funções multiplicando, a derivada é a primeira função vezes a derivada da segunda, mais a segunda função vezes a derivada da primeira:
Sabemos que
, então fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
.
Aqui,
, então:
A derivada de
usa a regra do quociente:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Simplificando
, então a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e simplificando os termos, vamos finalmente isolar
.
Resposta
Depois de simplificar, a derivada de
em relação a
é: