Em cada caso abaixo, admita que y é definido implicitamente como função de x e calcule y^prime=d yd x.
x y=arctan (xy).

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação onde y está definido de forma implícita em função de x . A nossa missão aqui é encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, y' = dydx . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde y não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
x cdot y = arctan(xy)
Nosso objetivo é derivar ambos os lados dessa equação em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo x cdot y usando a regra do produto, que diz que se temos duas funções multiplicando, a derivada é a primeira função vezes a derivada da segunda, mais a segunda função vezes a derivada da primeira:
ddx(x cdot y) = x cdot dydx + y cdot dxdx
Sabemos que dxdx = 1 , então fica:
x cdot y' + y

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito arctan(xy) . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de arctan(u) em relação a u é 11 + u^2 , e depois multiplicamos pela derivada de u .
Aqui, u = xy , então:
ddx arctan(xy) = 11 + (xy)^2 cdot ddx(xy)
A derivada de xy usa a regra do quociente:
ddx(xy) = y cdot 1 - x cdot y'y^2 = y - x y'y^2
Então, substituindo de volta:
11 + (xy)^2 cdot y - x y'y^2

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas que calculamos:
x y' + y = 11 + (xy)^2 cdot y - x y'y^2
Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados por y^2 :
y^2 (x y' + y) = 11 + (xy)^2 cdot (y - x y')
Simplificando 1 + (xy)^2 = y^2 + x^2y^2 , então a equação fica:
y^2 (x y' + y) = y^2x^2 + y^2 (y - x y')
Multiplicando ambos os lados por x^2 + y^2 :
y^2 (x y' + y)(x^2 + y^2) = y^2 (y - x y')
Expandindo e simplificando os termos, vamos finalmente isolar y' .

Resposta

Depois de simplificar, a derivada de y em relação a x é:
y' = y^3x^3 + y^3

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