Usando o Teste da Comparação, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 4^n+13^n-2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty 4^n+13^n-2
usando o Teste da Comparação. Vamos comparar com uma série geométrica cujos termos sejam mais simples de estudar.

Passo 2

Observe que, para todo n>=1,
3^n - 2 ;<; 3^n
Como o denominador é menor, o termo geral da nossa série é maior do que
4^n+13^n ;=; 4cdotl(43r)^n
Definimos então
bn = 4cdotl(43r)^n,
para usar como série comparadora.

Passo 3

A série sum bn = 4sum (4/3)^n é uma série geométrica de razão
tfrac43>1.
Qualquer série geométrica com razão maior que 1 diverge, pois seus termos não tendem a zero e o somatório cresce sem limite.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação inverso: como
0 <= 4^n+13^n-2 ;=; an e an ;>=; bn
e sum bn diverge, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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