Questão 1: Marque abaixo a Equação Diferencial de 1^a ordem que é separável.
a) d yd x=x^3-y2 x+cos (y);
b) d yd x=x-sin (y)2 x+cos (y);
c) dydx=cos (x-y)x+cos (y);
d) d yd x=x^31+cos (y);
e) d yd x=x^3-y^22 y+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar qual das equações diferenciais de 1ª ordem listadas é separável. Isso significa que a equação pode ser escrita de forma que uma função dependa só de x e a outra só de y , facilitando a resolução. Para isso, vamos analisar cada alternativa e ver qual se encaixa nessa descrição.

Passo 2

Vamos começar analisando a opção d):
dydx = x^31 + cos(y)
Aqui, temos dydx igual a uma fração onde o numerador depende apenas de x e o denominador depende apenas de y . Isso é um bom indicativo de que a equação pode ser separada.

Passo 3

Para verificar se é realmente separável, vamos rearranjar a equação:
(1 + cos(y)) , dy = x^3 , dx
Agora, temos uma parte que depende somente de y ( 1 + cos(y) ) multiplicando dy e outra parte que depende somente de x ( x^3 ) multiplicando dx . Isso confirma que a equação é separável.

Passo 4

Como a equação pode ser separada, isso facilita a resolução. Podemos integrar ambos os lados de forma independente:
integral (1 + cos(y)) , dy = integral x^3 , dx
Mas, como a questão pede apenas para identificar qual é a equação separável, não precisamos resolver as integrais neste momento.

Resposta

A opção d) é a equação diferencial de 1ª ordem que é separável.

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