Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1n ln n

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série sumn=2^infty 1nln n é convergente ou divergente. O assunto aqui é séries infinitas e especificamente o Teste da Integral, então vamos precisar relacionar a soma dos termos an=1nln n à integral imprópria de uma função relacionada.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1xln x, x>=2 Note que para x>=2 temos ln x>0, logo f(x)>0. Além disso, à medida que x cresce, tanto x quanto ln x crescem, então f(x) é decrescente e contínua em [2,infty), condições exigidas pelo Teste da Integral.

Passo 3

Aplicamos agora o Teste da Integral, calculando a integral imprópria associada:
integral2^A1xln x,dx

Passo 4

Para resolver, usamos a substituição u=ln x, de onde du=1x,dx. Assim:
integral2^A1xln x,dx=integralln2^ln A1u,du=l[ln ur]ln2^ln A=ln(ln A)-ln(ln2)
Agora analisamos o limite quando Atoinfty:
limAtoinftyl(ln(ln A)-ln(ln2)r)=infty
Como a integral imprópria diverge, pelo Teste da Integral a série sumn=2^infty 1nln n também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Integral.

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