Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série
é convergente ou divergente. O assunto aqui é séries infinitas e especificamente o Teste da Integral, então vamos precisar relacionar a soma dos termos
à integral imprópria de uma função relacionada.
Passo 2
Definimos a função
Note que para
temos
, logo
. Além disso, à medida que
cresce, tanto
quanto
crescem, então
é decrescente e contínua em
, condições exigidas pelo Teste da Integral.
Passo 3
Aplicamos agora o Teste da Integral, calculando a integral imprópria associada:
Passo 4
Para resolver, usamos a substituição
, de onde
. Assim:
Agora analisamos o limite quando
Como a integral imprópria diverge, pelo Teste da Integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge pelo Teste da Integral.