Em cada caso abaixo calcule a integral de linha indicada, observando que a mesma independe do caminho.
e. integral(2,0,1)^(0, pi, 3)(e^x sin y+y z) d x+(e^x cos y+ z sin y+x z) d y+(x y-cos y) d z. [resp.: 4.]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha f(x,y,z). Como o exercício avisa que independe do caminho, o campo é conservativo e podemos usar uma função potencial nabla f = (P,Q,R) tal que .

Passo 2

Para encontrar f, integramos P = e^x sin y + y z em relação a x. Temos
partial fpartial x = e^x sin y + y z implies f(x,y,z) = e^x sin y + x y z + g(y,z)

Passo 3

Usamos a condição partial f/partial y = Q, onde Q = e^x cos y + zsin y + x z. Calculando
partial fpartial y = e^x cos y + x z + partial gpartial y
e igualando a Q obtemos partial gpartial y = z sin y. Integrando em y
g(y,z) = integral zsin y,dy = -zcos y + h(z)
Logo
f(x,y,z) = e^x sin y + x y z - zcos y + h(z)

Passo 4

Para determinar h(z), impomos partial f/partial z = R, com R = x y - cos y. Temos
partial fpartial z = x y - cos y + h'(z)
e isso deve igualar x y - cos y, logo h'(z)=0 e h é constante, que podemos anular.

Passo 5

A integral de linha é então f(0,pi,3) - f(2,0,1). Calculando:
f(0,pi,3) = e^0sinpi + 0 - 3cospi = 3,
f(2,0,1) = e^2sin0 + 0 - 1cos0 = -1
Portanto o valor da integral é 3 - (-1) = 4.

Resposta

4

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