Em cada caso abaixo, considere a operação binária (*) sobre A . Determine os elementos regulares.
A=\mathbb{R}, e x * y=y, \forall x, y \in \mathbb{R}.
A=\mathbb{R}, e x * y=y, \forall x, y \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a operação binária
Precisamos encontrar os elementos regulares desse semigrupo.
Passo 2
Em teoria de semigrupos, dizemos que um elemento
é regular se existe algum
tal que
Aqui a operação é associativa (verificável diretamente), então podemos usar essa definição.
Passo 3
Calculemos
. Primeiro, pela definição,
Então
Mas de novo pela definição da operação,
. Logo
Passo 4
Observamos que a igualdade
vale para qualquer escolha de
. Em particular, para cada
existe (na verdade, qualquer)
que satisfaz a condição. Portanto TODO elemento
é regular.
Resposta
O conjunto dos elementos regulares é
inteiro.