Em cada caso abaixo, considere a operação binária (*) sobre A . Determine os elementos regulares.
A=\mathbb{R}, e x * y=y, \forall x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\mathbb{R} com a operação binária
x * y = y,\quad \forall\,x,y\in\mathbb{R}.
Precisamos encontrar os elementos regulares desse semigrupo.

Passo 2

Em teoria de semigrupos, dizemos que um elemento a\in A é regular se existe algum b\in A tal que
a * b * a = a.
Aqui a operação é associativa (verificável diretamente), então podemos usar essa definição.

Passo 3

Calculemos a * b * a. Primeiro, pela definição,
a * b = b.
Então
(a * b) * a = b * a.
Mas de novo pela definição da operação, b * a = a. Logo
a * b * a = a.

Passo 4

Observamos que a igualdade a * b * a = a vale para qualquer escolha de b\in\mathbb{R}. Em particular, para cada a existe (na verdade, qualquer) b que satisfaz a condição. Portanto TODO elemento a\in\mathbb{R} é regular.

Resposta

O conjunto dos elementos regulares é \mathbb{R} inteiro.

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