Represente o produto cartesiano abaixo:
a) A \times B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|x-2| \leq 2 \quad e \quad|y+1|<1\right\};

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |x-2|\le2 \text{ e } |y+1|<1\}.
O conteúdo é produto cartesiano e interpretação de inequações absolutas como intervalos em \mathbb{R}.

Passo 2

Interpretamos a condição em x:
|x-2|\le2
significa que a distância de x a 2 é no máximo 2. Logo
-2 \le x-2 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le x \le 4.
Portanto
A = \{x\in\mathbb{R}\mid 0\le x\le4\} = [0,4].

Passo 3

Interpretamos a condição em y:
|y+1|<1
significa que a distância de y a -1 é menor que 1. Logo
-1 < y+1 < 1 \quad\Longrightarrow\quad -2 < y < 0.
Portanto
B = \{y\in\mathbb{R}\mid -2<y<0\} = (-2,0).

Passo 4

O produto cartesiano
A\times B = [0,4]\times(-2,0)
é o retângulo no plano cujas abscissas variam de 0 a 4 (inclusivamente) e cujas ordenadas variam de -2 a 0 (sem as fronteiras em y). Os vértices são (0,-2), (4,-2), (4,0) e (0,0),
com as arestas verticais fechadas e as horizontais abertas em y.

Resposta

A\times B = [0,4]\times(-2,0),
ou seja, o retângulo de vértices (0,-2), (4,-2), (4,0), (0,0), fechado em x e aberto em y.

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