Mostrar que nenhum elemento de \mathbb{R} é regular para a operação \Delta assim definida:
x \Delta y=x^{2}+y^{2}+x y

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R} a operação
x \Delta y = x^{2} + y^{2} + x\,y
e pede para mostrar que nenhum elemento a\in\mathbb{R} é regular. Aqui “regular” significa que a seria ao mesmo tempo esquerdo-cancelável e direito-cancelável, isto é, as funções
y \mapsto a \Delta y \quad\text{e}\quad x \mapsto x \Delta a
seriam injetivas. Vamos então verificar que para qualquer a existe sempre um par x\neq y com
a \Delta x = a \Delta y,
o que impede a injetividade.

Passo 2

Calculemos explicitamente
a \Delta x = a^{2} + x^{2} + a\,x \quad\text{e}\quad a \Delta y = a^{2} + y^{2} + a\,y.
Impondo a \Delta x = a \Delta y, obtemos
a^{2} + x^{2} + a\,x \;=\; a^{2} + y^{2} + a\,y \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - y^{2} + a\,(x - y) = 0.

Passo 3

Fatorando a diferença de quadrados e o fator comum (x-y), vem
(x - y)\,\bigl(x + y + a\bigr) = 0.
Logo, ou x = y (caso trivial) ou
x + y + a = 0.
Esse segundo caso mostra que mesmo com x \neq y podemos ter a \Delta x = a \Delta y.

Passo 4

Para qualquer a, basta escolher um par (x,y) distinto que satisfaça
x + y + a = 0.
Por exemplo, fixe y = 1 e tome x = -a - 1. Se x \neq y (isto é, -a -1 \neq 1, ou seja, a \neq -2) já temos contraexemplo. Se a = -2, escolha y = 2 e x = -(-2) - 2 = 0, de modo que x\neq y e ainda x+y+a=0. Em todos os casos aparece x\neq y com
a \Delta x = a \Delta y,
o que prova que não existe a que faça y\mapsto a\Delta y injetiva. Como a operação é simétrica em x,y, o mesmo vale para a injetividade de x\mapsto x\Delta a.

Resposta

Nenhum elemento de \mathbb{R} é regular para a operação \Delta.

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