Mostrar que nenhum elemento de
é regular para a operação
assim definida:
Passo 1
O enunciado define em
a operação
e pede para mostrar que nenhum elemento
é regular. Aqui “regular” significa que
seria ao mesmo tempo esquerdo-cancelável e direito-cancelável, isto é, as funções
seriam injetivas. Vamos então verificar que para qualquer
existe sempre um par
com
o que impede a injetividade.
Passo 2
Calculemos explicitamente
Impondo
, obtemos
Passo 3
Fatorando a diferença de quadrados e o fator comum
, vem
Logo, ou
(caso trivial) ou
Esse segundo caso mostra que mesmo com
podemos ter
.
Passo 4
Para qualquer
, basta escolher um par
distinto que satisfaça
Por exemplo, fixe
e tome
. Se
(isto é,
, ou seja,
) já temos contraexemplo. Se
, escolha
e
, de modo que
e ainda
. Em todos os casos aparece
com
o que prova que não existe
que faça
injetiva. Como a operação é simétrica em
, o mesmo vale para a injetividade de
.
Resposta
Nenhum elemento de
é regular para a operação
.