Construir a tábua da operação de composição de funções em \mathrm{E}=\left\{f_{1} ; f_{2} ; f_{3}\right\} onde:
\begin{aligned} & f_{1}=\{(a ; a) ;(b ; b) ;(c ; c)\} \\\ & f_{2}=\{(a ; b) ;(b ; b c) ;(c ; a)\} \\\ & f_{3}=\{(a ; c) ;(b ; a) ;(c ; c b)\} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a tábua de composição das funções f_{1},f_{2},f_{3} definidas em \{a,b,c\} por
\begin{aligned} f_{1}&=\{(a;a),(b;b),(c;c)\},\\\ f_{2}&=\{(a;b),(b;bc),(c;a)\},\\\ f_{3}&=\{(a;c),(b;a),(c;cb)\}. \end{aligned}
Aqui o conteúdo é extensão de cada f_{i} a um endomorfismo do monoide livre \{a,b,c\}^* e composição letra a letra: se g(x)=x_{1}x_{2}\cdots x_{k}, então (f\circ g)(x)=f(x_{1})f(x_{2})\cdots f(x_{k}).

Passo 2

Primeiro vemos que f_{1} é a identidade em letras, logo para todo i\in\{1,2,3\} vale
f_{1}\circ f_{i}=f_{i},\quad f_{i}\circ f_{1}=f_{i}.

Passo 3

Agora calculamos f_{2}\circ f_{2}.
  • f_{2}(a)=b, logo (f_{2}\circ f_{2})(a)=f_{2}(b)=bc.
  • f_{2}(b)=bc, logo (f_{2}\circ f_{2})(b)=f_{2}(b)\,f_{2}\text{(c)}=\bigl(bc\bigr)\bigl(a\bigr)=bca.
  • f_{2}\text{(c)}=a, logo (f_{2}\circ f_{2})\text{(c)}=f_{2}(a)=b.
    Portanto
f_{2}\circ f_{2}=\{(a;bc),(b;bca),(c;b)\}.

Passo 4

Calculamos f_{3}\circ f_{3}.
  • f_{3}(a)=c, então (f_{3}\circ f_{3})(a)=f_{3}\text{(c)}=cb.
  • f_{3}(b)=a, então (f_{3}\circ f_{3})(b)=f_{3}(a)=c.
  • f_{3}\text{(c)}=cb, então (f_{3}\circ f_{3})\text{(c)}=f_{3}\text{(c)}\,f_{3}(b)=\bigl(cb\bigr)\bigl(a\bigr)=cba.
    Logo
f_{3}\circ f_{3}=\{(a;cb),(b;c),(c;cba)\}.

Passo 5

Falta agora cruzar f_{2} com f_{3}.
  1. f_{2}\circ f_{3}:
  • f_{3}(a)=c (f_{2}\circ f_{3})(a)=f_{2}\text{(c)}=a.
  • f_{3}(b)=a (f_{2}\circ f_{3})(b)=f_{2}(a)=b.
  • f_{3}\text{(c)}=cb (f_{2}\circ f_{3})\text{(c)}=f_{2}\text{(c)}\,f_{2}(b)=a\,(bc)=abc.
    Logo
f_{2}\circ f_{3}=\{(a;a),(b;b),(c;abc)\}.
  1. f_{3}\circ f_{2}:
  • f_{2}(a)=b (f_{3}\circ f_{2})(a)=f_{3}(b)=a.
  • f_{2}(b)=bc (f_{3}\circ f_{2})(b)=f_{3}(b)\,f_{3}\text{(c)}=a\,(cb)=acb.
  • f_{2}\text{(c)}=a (f_{3}\circ f_{2})\text{(c)}=f_{3}(a)=c.
    Logo
f_{3}\circ f_{2}=\{(a;a),(b;acb),(c;c)\}.

Passo 6

Agora organizamos tudo numa tábua onde a linha é o primeiro fator e a coluna o segundo, ou seja, na entrada (i,j) está f_{i}\circ f_{j}.

Resposta

\begin{array}{c|ccc} \circ & f_{1} & f_{2} & f_{3}\\hline f_{1} & \{(a;a),(b;b),(c;c)\} & \{(a;b),(b;bc),(c;a)\} & \{(a;c),(b;a),(c;cb)\}\\[6pt] f_{2} & \{(a;b),(b;bc),(c;a)\} & \{(a;bc),(b;bca),(c;b)\} & \{(a;a),(b;b),(c;abc)\}\\[6pt] f_{3} & \{(a;c),(b;a),(c;cb)\} & \{(a;a),(b;acb),(c;c)\} & \{(a;cb),(b;c),(c;cba)\} \end{array}]

Exercícios relacionados