Represente o produto cartesiano abaixo:
a) A \times B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|2 x-3|<|2-3 x| \quad e \quad 0 \leq|y-2|+2 y\right\};

Passo 1

Temos o conjunto
\;A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |2x-3|<|2-3x|\quad\text{e}\quad 0\le|y-2|+2y\}
O que precisamos é descrever separadamente
A=\{x\in\mathbb{R}\mid |2x-3|<|2-3x|\}
e
B=\{y\in\mathbb{R}\mid 0\le|y-2|+2y\},
de modo a escrever A\times B.

Passo 2

Para encontrar A, note que
|2x-3|<|2-3x|\quad\Longleftrightarrow\quad |2x-3|<|3x-2|.
Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado sem alterar a desigualdade:
(2x-3)^2 < (3x-2)^2
4x^2 -12x +9 < 9x^2 -12x +4
0 < 5x^2 -5 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x<-1\;\text{ou}\;x>1.
Logo
A = (-\infty,-1)\,\cup\,(1,\infty).

Passo 3

Agora, para B, resolvemos
0 \le |y-2| + 2y.
Dividimos em casos:
  1. Se y\ge2, então |y-2|=y-2 e
|y-2|+2y = (y-2)+2y = 3y-2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y\ge \tfrac{2}{3},
o que vale para todo y\ge2.
  1. Se y<2, então |y-2|=2-y e
|y-2|+2y = (2-y)+2y = y+2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y\ge -2.
Juntando, y deve satisfazer -2\le y<2 ou y\ge2, isto é,
B = [-2,\infty).

Passo 4

Portanto
A = (-\infty,-1)\cup(1,\infty), \quad B = [-2,\infty),
e o produto cartesiano é
A\times B = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<-1\text{ ou }x>1,\;\;y\ge-2\}.

Resposta

A = (-\infty,-1)\cup(1,\infty), \quad B = [-2,\infty),
A\times B = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<-1\text{ ou }x>1,\;\;y\ge-2\}.

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