Em cada caso abaixo, considere a operação binária * sobre A. E verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e determine os elementos simetrizáveis.
\mathrm{A}=\mathbb{Z}, x * y=x+y-x \cdot y, \quad \forall x, y \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado define em A=\mathbb{Z} a operação
x*y \;=\; x + y \;-\; x\,y,
e pede para verificar se * é associativa, se é comutativa, encontrar o elemento neutro e determinar os elementos simetrizáveis (invertíveis).

Passo 2

Para checar a comutatividade, basta ver se x*y = y*x.
x*y = x + y - x\,y \quad,\quad y*x = y + x - y\,x.
Como a soma e o produto em \mathbb{Z} são comutativos, x+y = y+x e x\,y = y\,x, segue que
x*y = y*x,
logo * é comutativa.

Passo 3

Para checar a associatividade, comparo (x*y)*z com x*(y*z).
Calculo primeiro
(x*y)*z = (x + y - x\,y) + z - (x + y - x\,y)\,z = x + y - x\,y + z - x\,z - y\,z + x\,y\,z.
Agora
x*(y*z) = x + (y + z - y\,z) - x\,(y + z - y\,z) = x + y + z - y\,z - x\,y - x\,z + x\,y\,z.
As duas expressões coincidem, então * é associativa.

Passo 4

O elemento neutro e satisfaz x*e = x para todo x.
x*e = x + e - x\,e = x \;\Longrightarrow\; e - x\,e = 0 \;\Longrightarrow\; e\,(1 - x) = 0.
Como isso deve valer para todo x\in\mathbb{Z}, a única solução é e = 0. Verificação:
x*0 = x + 0 - x\cdot 0 = x, \quad 0*x = 0 + x - 0\cdot x = x.

Passo 5

Um elemento x é simetrizável se existe y tal que x*y = 0.
x*y = x + y - x\,y = 0 \;\Longrightarrow\; x + y = x\,y \;\Longrightarrow\; y\,(x-1) = x \;\Longrightarrow\; y = \frac{x}{x-1}.
Para y\in\mathbb{Z}, é preciso que x-1 divida x. Seja d = x-1, então x = d+1 e
\frac{x}{x-1} = \frac{d+1}{d} = 1 + \frac{1}{d}
é inteiro só se d = \pm1. Assim:
  • d = 1 x = 2 e y = 2.
  • d = -1 x = 0 e y = 0.
Portanto os únicos elementos invertíveis são 0 e 2, cada um sendo o seu próprio inverso.

Resposta

Associativa: sim
Comutativa: sim
Elemento neutro: 0
Elementos simetrizáveis (invertíveis): 0 (inverso 0) e 2 (inverso 2)

Exercícios relacionados