Em cada caso abaixo, considere a operação binária * sobre A. E verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e determine os elementos simetrizáveis.
.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
e pede para verificar se
é associativa, se é comutativa, encontrar o elemento neutro e determinar os elementos simetrizáveis (invertíveis).
Passo 2
Para checar a comutatividade, basta ver se
.
Como a soma e o produto em
são comutativos,
e
, segue que
logo
é comutativa.
Passo 3
Para checar a associatividade, comparo
com
.
Calculo primeiro
Calculo primeiro
Agora
As duas expressões coincidem, então
é associativa.
Passo 4
O elemento neutro
satisfaz
para todo
.
Como isso deve valer para todo
, a única solução é
. Verificação:
Passo 5
Um elemento
é simetrizável se existe
tal que
.
Para
, é preciso que
divida
. Seja
, então
e
é inteiro só se
. Assim:
-
dá e . -
dá e .
Portanto os únicos elementos invertíveis são
e
, cada um sendo o seu próprio inverso.
Resposta
Associativa: sim
Comutativa: sim
Elemento neutro:
Elementos simetrizáveis (invertíveis): (inverso
) e
(inverso
)
Comutativa: sim
Elemento neutro:
Elementos simetrizáveis (invertíveis):