(DESAFIO!) Neste exercício vamos verificar com alguns exemplos que a geometria analítica plana satisfaz os axiomas apresentados nesta aula. Primeiro estabelecemos quem são nossos personagens: o plano
\mathcal{P} é o plano cartesiano
\mathbb{R}^{2} , os pontos são os pares ordenados
(x, y) \in \mathbb{R}^{2} , e as retas são as retas cartesianas, ou seja, os conjuntos do tipo
\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \text { tais que } a x+b y=c\right\}
onde
a ou
b são não nulos.
(a) Axioma I.1: Tome dois pontos
\left(x_{0}, y_{0}\right) e
\left(x_{1}, y_{1}\right) de
\mathbb{R}^{2} e encontre a equação da reta determinada por eles. Existe outra reta cartesiana determinada pelos mesmos pontos?
(b) Axioma I.2: Tome uma reta cartesiana
a x+b y=c qualquer e verifique que possui dois pontos.
(c) Axioma I.3: Tome uma reta cartesiana
r: a x+b y-c qualquer e dê as coordenadas de algum ponto que não pertença a
r .
(d) Axioma II.1: Mostre que se
A=\left(x_{1}, y_{1}\right) e
B=\left(x_{2}, y_{2}\right) então a distância definida por
A B=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}
satisfaz as propriedades do axioma II. 1
(e) Axioma II.2: Façamos um exemplo particular. Tome a reta
Verifique que
A=(1,-1), B=(-1,2) e
C=(2,-5 / 2) são pontos de
r . Calcule
A B ,
A C e
B C e verifique que
B-A-C . Desenhe a reta e os pontos no plano. Este cálculo pode ser generalizado facilmente para retas quaisquer.
(f) Axioma II.3: Tome a reta
r e os pontos
A e
B do item anterior e encontre um ponto
D tal que
B-A-D . Este cálculo também pode ser facilmente generalizado.