Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(1,0,1)+t(2,1,-1) ; t in R e alpha: x-3 y+z-8=0, determine, justificando:
d(P, alpha);

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P(1,-4,5) e o plano alphacolon x - 3y + z - 8 = 0. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano no espaço.

Passo 2

A fórmula geral é
d(P,alpha) = llvert A x0 + B y0 + C z0 + D rrvertraizA^2 + B^2 + C^2,
onde alpha tem equação A x + B y + C z + D = 0 e P = (x0,y0,z0).

Passo 3

Identificamos para alpha:
A = 1, B = -3, C = 1, D = -8,
e para P:
x0 = 1, y0 = -4, z0 = 5.
O numerador fica
llvert 1cdot1 + (-3)cdot(-4) + 1cdot5 - 8 rrvert = lvert 1 + 12 + 5 - 8 rvert = lvert 10 rvert = 10

Passo 4

O denominador é
raiz1^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz1 + 9 + 1 = raiz11

Passo 5

Substituindo na fórmula, obtemos
d(P,alpha) = 10raiz11

Resposta

10raiz11

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