Considere
com as operações usuais
. Defina novas operações em
por:
Verifique se
é um espaço vetorial real.
Passo 1
O enunciado define em
a “adição”
e o “produto por escalar”
e pede para verificar se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial real. Para isso basta checar, em especial, se
é um grupo abeliano, pois se falha aí já não é espaço vetorial.
Passo 2
Procuramos elemento neutro
em
tal que, para todo
,
Mas
Isso dá
dependendo de
, logo não existe um único
que sirva para todos os
. Portanto não há elemento neutro para
.
Passo 3
Como bônus, podemos verificar a comutatividade:
e em geral
. Logo
não é comutativa.
Passo 4
Já que
não forma nem grupo (falta neutro e inversos bem definidos) nem grupo abeliano,
não é espaço vetorial sobre
.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial real, pois em
não existe elemento neutro (e não é comutativa).