Considere R com as operações usuais +e cdot. Defina novas operações em R por:
u oplus v & =2 u-v, r odot v & =r cdot v
Verifique se (R, oplus, odot) é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define em R a “adição”
u oplus v = 2u - v
e o “produto por escalar”
r odot v = rcdot v,
e pede para verificar se (R,oplus,odot) satisfaz os axiomas de espaço vetorial real. Para isso basta checar, em especial, se (R,oplus) é um grupo abeliano, pois se falha aí já não é espaço vetorial.

Passo 2

Procuramos elemento neutro e em (R,oplus) tal que, para todo vinR,
v oplus e = v
Mas
v oplus e = 2v - e = v Longrightarrow e = v
Isso dá e dependendo de v, logo não existe um único e que sirva para todos os v. Portanto não há elemento neutro para oplus.

Passo 3

Como bônus, podemos verificar a comutatividade:
u oplus v = 2u - v, v oplus u = 2v - u,
e em geral 2u - v neq 2v - u. Logo oplus não é comutativa.

Passo 4

Já que (R,oplus) não forma nem grupo (falta neutro e inversos bem definidos) nem grupo abeliano, (R,oplus,odot) não é espaço vetorial sobre R.

Resposta

Não, (R,oplus,odot) não é um espaço vetorial real, pois em oplus não existe elemento neutro (e não é comutativa).

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