Em cada caso abaixo, determine se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação definidas conforme as regras indicadas abaixo, é ou não um espaço vetorial. Se
não for um espaço vetorial, indique os axiomas da definição que são violados.
,
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício sobre espaços vetoriais. A questão pede para a gente verificar se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação definidas como:
é ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar um por um se essas operações os satisfazem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto onde a gente pode somar vetores e multiplicar por escalares seguindo certas regras chamadas de axiomas. Existem 8 axiomas principais que precisam ser validados, como a existência de um vetor zero, associatividade da adição, existência de inversos, e assim por diante.
Passo 3
Vamos começar verificando o Axioma da Comutatividade da Adição. Esse axioma diz que a ordem na qual a gente soma dois vetores não altera o resultado:
Usando a definição de adição dada:
Comparando os dois resultados:
Como não necessariamente
, a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
Vamos verificar agora o Axioma da Existência do Vetor Zero. Esse axioma requer que exista um vetor
tal que para qualquer vetor
:
Usando a definição de adição:
Aqui, o vetor zero seria
, e parece que esse axioma é satisfeito.
Passo 5
Vamos para o Axioma da Existência de Inversos Adicionais. Isso significa que para cada vetor
, deve existir um vetor
tal que:
Com a definição de adição:
Para ser igual ao vetor zero
, precisaríamos que
, o que nem sempre é verdade. Portanto, os inversos aditivos não existem para todos os vetores.
Passo 6
Além disso, vamos checar o Axioma da Associatividade da Adição. Esse axioma diz que:
Calculando com nossa adição:
Aqui, a associatividade funciona porque
. Então, esse axioma é satisfeito.
Passo 7
Vamos também verificar o Axioma da Distributividade da Multiplicação Escalar em Relação à Adição Vetorial:
Calculando:
Para que sejam iguais:
Isso é verdadeiro devido à distributividade na multiplicação real, então esse axioma é satisfeito.
Resposta
Então, analisando todos os axiomas, vimos que o conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois viola pelo menos os seguintes axiomas:
- Comutatividade da Adição:
a menos que . - Existência de Inversos Adicionais: Não existe
para todos os vetores de forma que .
Portanto,
não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.