Em cada caso abaixo, determine se o conjunto V=R^2, com as operações de adição e multiplicação definidas conforme as regras indicadas abaixo, é ou não um espaço vetorial. Se V não for um espaço vetorial, indique os axiomas da definição que são violados.
(x1, x2)+^*(y1, y2)=(x1, x2+y2), alpha cdot ^*(x1, x2)=(alpha x1, alpha x2)

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre espaços vetoriais. A questão pede para a gente verificar se o conjunto V = R^2 , com as operações de adição e multiplicação definidas como:
(x1, x2) +^* (y1, y2) = (x1, x2 + y2)
alpha cdot^* (x1, x2) = (alpha x1, alpha x2)
é ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar um por um se essas operações os satisfazem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto onde a gente pode somar vetores e multiplicar por escalares seguindo certas regras chamadas de axiomas. Existem 8 axiomas principais que precisam ser validados, como a existência de um vetor zero, associatividade da adição, existência de inversos, e assim por diante.

Passo 3

Vamos começar verificando o Axioma da Comutatividade da Adição. Esse axioma diz que a ordem na qual a gente soma dois vetores não altera o resultado:
u + v = v + u
Usando a definição de adição dada:
(x1, x2) +^* (y1, y2) = (x1, x2 + y2)
(y1, y2) +^* (x1, x2) = (y1, y2 + x2)
Comparando os dois resultados:
(x1, x2 + y2) neq (y1, x2 + y2) a menos que x1 = y1
Como não necessariamente x1 = y1 , a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

Vamos verificar agora o Axioma da Existência do Vetor Zero. Esse axioma requer que exista um vetor 0 tal que para qualquer vetor v :
v + 0 = v
Usando a definição de adição:
(x1, x2) +^* 01, 02 = (x1, x2 + 02) = (x1, x2)
Aqui, o vetor zero seria (0, 0) , e parece que esse axioma é satisfeito.

Passo 5

Vamos para o Axioma da Existência de Inversos Adicionais. Isso significa que para cada vetor v , deve existir um vetor -v tal que:
v + (-v) = 0
Com a definição de adição:
(x1, x2) +^* (-x1, -x2) = (x1, x2 + (-x2)) = (x1, 0)
Para ser igual ao vetor zero (0, 0) , precisaríamos que x1 = 0 , o que nem sempre é verdade. Portanto, os inversos aditivos não existem para todos os vetores.

Passo 6

Além disso, vamos checar o Axioma da Associatividade da Adição. Esse axioma diz que:
(u + v) + w = u + (v + w)
Calculando com nossa adição:
((x1, x2) +^* (y1, y2)) +^* (z1, z2) = (x1, x2 + y2) +^* (z1, z2) = (x1, (x2 + y2) + z2)
(x1, x2) +^* ((y1, y2) +^* (z1, z2)) = (x1, x2) +^* (y1, y2 + z2) = (x1, x2 + (y2 + z2))
Aqui, a associatividade funciona porque x2 + y2 + z2 = x2 + (y2 + z2) . Então, esse axioma é satisfeito.

Passo 7

Vamos também verificar o Axioma da Distributividade da Multiplicação Escalar em Relação à Adição Vetorial:
alpha cdot^* (u + v) = alpha cdot^* u +^* alpha cdot^* v
Calculando:
alpha cdot^* ((x1, x2) +^* (y1, y2)) = alpha cdot^* (x1, x2 + y2) = (alpha x1, alpha (x2 + y2))
alpha cdot^* (x1, x2) +^* alpha cdot^* (y1, y2) = (alpha x1, alpha x2) +^* (alpha y1, alpha y2) = (alpha x1, alpha x2 + alpha y2)
Para que sejam iguais:
(alpha x1, alpha (x2 + y2)) = (alpha x1, alpha x2 + alpha y2)
Isso é verdadeiro devido à distributividade na multiplicação real, então esse axioma é satisfeito.

Resposta

Então, analisando todos os axiomas, vimos que o conjunto V = R^2 com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois viola pelo menos os seguintes axiomas:
  1. Comutatividade da Adição: u +^* v neq v +^* u a menos que x1 = y1 .
  2. Existência de Inversos Adicionais: Não existe -v para todos os vetores v de forma que v +^* (-v) = 0 .
Portanto, V não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.

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