Considere o conjunto
definido por
a)
.
b)
.
é um espaço vetorial? Interprete geometricamente este conjunto.
a)
b)
Passo 1
O enunciado define dois conjuntos em
:
a) .
b) .
Precisamos verificar, em cada caso, se é subespaço vetorial de
(logo espaço vetorial) usando os critérios: conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar. Além disso, interpretar geometricamente
.
a)
b)
Precisamos verificar, em cada caso, se
Passo 2
Analisando o caso (a):
- O vetor zero está em
pois, para ,
- Fechamento em soma: dados
e ,
- Fechamento em multiplicação escalar: para
,
Logo,
é subespaço vetorial. Geometricamente, é a reta que passa pela origem e tem direção dada pelo vetor
.
Passo 3
Analisando o caso (b):
- Verificamos se o zero está em
que não tem solução comum. Logo e
,
que não é da forma
a menos que
.
Portanto falha nos critérios de subespaço. Geometricamente, é uma reta paralela a
mas deslocada: passa por
, não pela origem, sendo um conjunto afim, não um subespaço.
Portanto
Resposta
a)
é subespaço vetorial; geometricamente, é a reta por
na direção
.
b) não é subespaço vetorial; geometricamente, é uma reta paralela à direção
passando por
.
b)