Considere o conjunto S definido por
a) S=v in R^2 mid v=alpha(1,2), alpha in R.
b) S=v in R^2 mid v=alpha(1,2)+(3,1), alpha in R.
S é um espaço vetorial? Interprete geometricamente este conjunto.

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos em R^2:
a) S=vinR^2mid v=alpha(1,2),,alphainR.
b) S=vinR^2mid v=alpha(1,2)+(3,1),,alphainR.
Precisamos verificar, em cada caso, se S é subespaço vetorial de R^2 (logo espaço vetorial) usando os critérios: conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar. Além disso, interpretar geometricamente S.

Passo 2

Analisando o caso (a):
  1. O vetor zero está em S pois, para alpha=0,
0,(1,2)=(0,0)in S
  1. Fechamento em soma: dados v1=alpha(1,2) e v2=beta(1,2),
v1+v2=(alpha+beta)(1,2)in S
  1. Fechamento em multiplicação escalar: para gammainR,
gamma v1=gammal(alpha(1,2)r)=(gammaalpha)(1,2)in S
Logo, S é subespaço vetorial. Geometricamente, é a reta que passa pela origem e tem direção dada pelo vetor (1,2).

Passo 3

Analisando o caso (b):
  1. Verificamos se o zero está em
que não tem solução comum. Logo e ,
que não é da forma a menos que .
Portanto falha nos critérios de subespaço. Geometricamente, é uma reta paralela a mas deslocada: passa por , não pela origem, sendo um conjunto afim, não um subespaço.

Resposta

a) S é subespaço vetorial; geometricamente, é a reta por 0 na direção (1,2).
b) S não é subespaço vetorial; geometricamente, é uma reta paralela à direção (1,2) passando por (3,1).

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