Seja V=R^3. Verifique se W é ou não subespaço vetorial de V, onde:
W=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid x^2 + y^2 + z^2 <= 1
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de V=R^3. Para isso precisamos conferir três propriedades:
1. Wneqvarnothing.
2. se u,vin W então u+vin W.
3. se uin W e lambdainR então lambdauin W.

Passo 2

Verificamos que 0=(0,0,0)in W, pois
0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 <= 1
Portanto W não é vazio.

Passo 3

Testamos a fechac~{a}o sob soma. Considere
u=(1,0,0) e v=(1,0,0).
Ambos satisfazem 1^2+0^2+0^2=1<= 1, logo u,vin W.
Mas
u+v = (2,0,0)
e
2^2 + 0^2 + 0^2 = 4 > 1,
ent~ao u+vnotin W. Assim W n~ao 'e fechado sob soma.

Passo 4

Testamos a fechac~{a}o sob multiplica\c{c}~{a}o escalar. Tome u=(1,0,0)in W e lambda=2.
Ent~ao
lambdau = (2,0,0),
e como vimos 2^2+0^2+0^2=4>1, fica lambdaunotin W. Logo W n~ao 'e fechado para escalares.

Passo 5

Como falha a fechac~{a}o sob soma e tamb’em sob produto escalar, W n~ao satisfaz as condi\c{c}~{o}es de subespa\c{c}o vetorial.

Resposta

W n~ao 'e subespa\c{c}o vetorial de R^3.

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