Seja V=R^3. Verifique se W é ou não subespaço vetorial de V, onde:
W=(x, y, z) mid z=0.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = R^3 e o subconjunto
W = (x,y,z)mid z = 0
Para ver se W é subespaço vetorial de V, precisamos checar três coisas:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado em relação à soma de vetores.
  3. W é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de V pertence a W. O vetor zero em R^3 é (0,0,0), e nele z=0. Logo (0,0,0)in W, então W não é vazio.

Passo 3

Agora checamos a soma: sejam (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em W. Como cada um satisfaz z1=0 e z2=0, a soma é
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1+x2,;y1+y2,;0+0) = (x1+x2,;y1+y2,;0),
que tem terceira coordenada zero e, portanto, está em W. Assim W é fechado sob adição.

Passo 4

Checamos a multiplicação por escalar: tome (x,y,z)in W com z=0 e alphainR. Então
alpha,(x,y,z) = (alpha x,;alpha y,;alphacdot 0) = (alpha x,;alpha y,;0),
cuja terceira coordenada é zero, logo alpha(x,y,z)in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado em soma e fechado em escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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