Caracterize geometricamente os subconjuntos do
que são subespaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar geometricamente todos os subconjuntos de
que são subespaços vetoriais. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente a definição e classificação de subespaços de um espaço vetorial.
Passo 2
Lembrando a definição, um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se:
-
. - Para quaisquer
, temos . - Para qualquer
e todo escalar , tem-se .
Passo 3
Todo subespaço de
tem dimensão
,
,
ou
. Geometricamente, isso corresponde a quatro tipos de conjuntos:
Passo 4
Dimensão
: só existe o vetor nulo, pois não há nenhum vetor não-nulo para gerar uma reta ou plano.
Dimensão : existe um vetor não-nulo
; então
, que é uma reta passando pela origem na direção de
.
Dimensão : existem dois vetores independentes
; então
Dimensão
Dimensão
que é um plano passando pela origem determinado por
e
.
Dimensão : três vetores independentes geram todo o espaço, logo
.
Dimensão
Resposta
Os subespaços vetoriais de
são exatamente:
o subespaço trivial
.
toda reta que passa pela origem.
todo plano que passa pela origem.
o próprio
.