Caracterize geometricamente os subconjuntos do R^3 que são subespaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar geometricamente todos os subconjuntos de R^3 que são subespaços vetoriais. O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente a definição e classificação de subespaços de um espaço vetorial.

Passo 2

Lembrando a definição, um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço vetorial se, e somente se:
  1. 0in W.
  2. Para quaisquer u,vin W, temos u+vin W.
  3. Para qualquer uin W e todo escalar lambdainR, tem-se lambdauin W.

Passo 3

Todo subespaço de R^3 tem dimensão 0, 1, 2 ou 3. Geometricamente, isso corresponde a quatro tipos de conjuntos:

Passo 4

Dimensão 0: só existe o vetor nulo, pois não há nenhum vetor não-nulo para gerar uma reta ou plano.
Dimensão 1: existe um vetor não-nulo v; então W=lambdavmidlambdainR, que é uma reta passando pela origem na direção de v.
Dimensão 2: existem dois vetores independentes u,v; então
W=a,u+b,vmid a,binR,
que é um plano passando pela origem determinado por u e v.
Dimensão 3: três vetores independentes geram todo o espaço, logo W=R^3.

Resposta

Os subespaços vetoriais de R^3 são exatamente:
o subespaço trivial ,0,.
toda reta que passa pela origem.
todo plano que passa pela origem.
o próprio R^3.

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