Em cada caso abaixo, determine se F é ou não campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine um potencial para F.

Passo 1

O exercício pede para verificar se o campo vetorial vec F(x,y,z) = (y^2cos x + z^3),i + (4 + 2ysin x),j + (3xz^2 + 2),k em R^3 é conservativo (campo gradiente) e, se for, encontrar uma função potencial. Vamos precisar usar o conceito de rotor (curl) e depois integrar as componentes para achar o potencial.

Passo 2

Para testar se vec F é conservativo, calculamos o rotor:
nablatimesvec F = l(partial Fzpartial y - partial Fypartial zr)i + l(partial Fxpartial z - partial Fzpartial xr)j + l(partial Fypartial x - partial Fxpartial yr)k
Calculando cada derivada dá zero em todas as componentes, logo nablatimesvec F=vec0.
Como o domínio é R^3, que é simplesmente conexo, e o rotor é nulo, concluímos que vec F é mesmo um campo gradiente. Agora basta achar um potencial f tal que nabla f=vec F.

Passo 3

Começamos integrando a primeira componente: partial fpartial x=y^2cos x+z^3. Integrando em relação a x temos
f(x,y,z)=y^2sin x + x z^3 + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y,z.
Para determinar g(y,z), usamos a segunda componente: partial fpartial y=2ysin x + partial gpartial y deve ser igual a 4 + 2ysin x. Daí
2ysin x + gy = 4 + 2ysin x implies gy=4 implies g(y,z)=4y + h(z)

Passo 4

Finalmente, ajustamos h(z) usando a terceira componente: partial fpartial z=3xz^2 + h'(z) deve coincidir com 3xz^2+2. Logo
h'(z)=2 implies h(z)=2z + C,
onde C é constante. Assim, um potencial é
f(x,y,z)=y^2sin x + x z^3 + 4y + 2z + C

Resposta

O campo vec F é conservativo em R^3, e um potencial é
f(x,y,z)=y^2sin x + x z^3 + 4y + 2z + C

Exercícios relacionados