Em cada caso abaixo, determine se
é ou não campo gradiente no domínio indicado. Em caso afirmativo, determine um potencial para
.
Passo 1
O exercício pede para verificar se o campo vetorial
em
é conservativo (campo gradiente) e, se for, encontrar uma função potencial. Vamos precisar usar o conceito de rotor (curl) e depois integrar as componentes para achar o potencial.
Passo 2
Para testar se
é conservativo, calculamos o rotor:
Calculando cada derivada dá zero em todas as componentes, logo
.
Como o domínio é , que é simplesmente conexo, e o rotor é nulo, concluímos que
é mesmo um campo gradiente. Agora basta achar um potencial
tal que
.
Como o domínio é
Passo 3
Começamos integrando a primeira componente:
. Integrando em relação a
temos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Para determinar , usamos a segunda componente:
deve ser igual a
. Daí
Para determinar
Passo 4
Finalmente, ajustamos
usando a terceira componente:
deve coincidir com
. Logo
onde
é constante. Assim, um potencial é
Resposta
O campo
é conservativo em
, e um potencial é