Usando o teste de comparação de séries, estudar a convergência da série sumn=1 4 n4 n^2-2 n-1.

Passo 1

A série em estudo é sumn=1^infty an com an=4n4n^2-2n-1. O conteúdo da matéria é o teste de comparação de séries e vamos precisar de uma série-padrão conhecida para comparar (a harmônica).

Passo 2

Para encontrar uma série comparadora, observamos o comportamento assintótico de an quando ntoinfty. Note que
4n4n^2-2n-1sim4n4n^2=1n
Logo, escolhemos bn=1n, pois sum bn é a série harmônica, que sabemos ser divergente.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite. Calculamos:
L=limntoinftyanbn =limntoinfty4n4n^2-2n-11n =limntoinfty4n^24n^2-2n-1 =1
Como 0, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabendo que sumn=1^infty bn=sumn=1^infty1n diverge, concluímos que sumn=1^infty an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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